小波神经网络在高程拟合中的应用

杨登科　徐猛　李建平　秦泽坤

摘 要：基于小波神经网络对样本的学习可以准确地估计任何非线性的时间序列的优点，将其应用于GPS高程拟合，并与二次曲面模型进行了比较，试验结果表明，小波神经网络模型能够利用有限的样本信息获得最好的学习效果和泛化能力，其拟合精度优于常规二次曲面拟合方法。

关键词：小波神经网络；二次曲面模型；高程拟合

中图分类号：P228.4 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2018）23-0165-02

Abstract： The advantages of any nonlinear time series can be estimated accurately by learning samples based on wavelet neural network. It is applied to GPS height fitting and compared with the conicoid model. The experimental results show that： The wavelet neural network model can make use of the limited sample information to obtain the best learning effect and generalization ability， and its fitting precision is better than the conventional conicoid fitting method.

Keywords： wavelet neural network； quadric surface model； height fitting

1 概述

GPS具有全天候、高精度、测站间无需通视等优势，目前该技术已被广泛应用于工程领域。但在实际工作中，GPS是大地高系统，而我国采用正常高系统，这两个高程系统之间存在高程异常，因而需要将GPS的大地高转换为正常。目前，高程异常拟合方法主要分为3类，分别为几何解析法[1-2]、物理大地测量法[3-4]以及人工智能法[5-6]。神经网络高程拟合法具有高精度、高稳定性以及较强的容错性能优点，其中小波神经网络兼具小波变换与神经网络的优点，已被广泛应用于GPS高程拟合中[7-8]，本文以某一工程区

域，运用小波神经网络方法对GPS水准联测数据进行高程拟合，并于常用二次曲面拟合方法进行比较，证明小波神经网络方法的优越性。

2 小波神经网络模型

小波神经网络通过采用小波基函数代替BP神经网络隐含层的激活函数，其具有放大信号来提取局部信息的优点。图1对小波神经网络模型结构进行了详细的描述。从图1中可以看出，小波神经网络具有三层结构，分别为输入层（input layer）、隐藏层（hidden layer）与输出层（output layer）。

假定输入层、隐含层及输出层的神经元个数分别为m、n、N，其输入、输出向量分别为X=[x1，x2，…，xm]T，Y=[y1，y2，…，yn]T，则其模型输出可表示为：

式中，P=（w c）T；w，c分别为网络中所有权值和小波基组成的向量，ti为网络的期望输出，对于这种非线性函数平方和最小问题，Levenber-Marquardt（LM）作为解决此类问题的参考解法能够通过迭代的方法得到最小解。小波神经网络与传统神经网络的主要区别是用非线性小波基取代了神经网络通常的非线性Sigmoid函数。

3 基于小波神经网络的GPS高程拟合

采用小波神经网络对GPS高程拟合其步骤如下：

（1）GPS水准联测数据样本的选择。根据GPS水准联测确定的高程异常，对其从大到小均匀选取，同时还应顾及其位置分布。

（2）数据预处理。对选取的样本进行数据预处理，如剔除可能存在的粗差，数据归一化等，避免指标中数值较大的值过于控制训练过程，而掩盖了较小数值指标的作用。

（3）模型参数的选择及样本训练。模型参数选取比较复杂，不仅影响神经网络收敛速度，还影响模型容错性和泛化能力，本文选取Morlet小波函数，训练样本采用基于梯度下降的最优化的反向传播算法。

（4）回归估计。将待拟合样本数据输入到训练好的小波神经网络模型中进行回归估计，评价其拟合精度，并于二次曲面拟合方法进行比较。

4 算例分析

本文实验数据选用某工程区域E级GPS网，其中37个GPS点联测了四等水准，其点位分布如图1所示。

首先对37个GPS水准联测点进行检测，选择剩余34个GPS水准联测点中的18个点作为样本集，将选取中的样本集分别使用小波神经网络模型与二次曲面模型进行建模，然后将剩余的点作为检核点进行比较，两种模型GPS高程拟合结果的残差与图3所示。

从图3中可以看出，小波神经网络模型明显优于二次曲面模型，二次曲面模型拟合最大拟合残差大于10cm，而小波神经网络模型最大拟合残差不足10cm，为了进行更清晰的对比，又分别统计其内符合精度与外符合精度，结果如表1所示。

从表1中可以看出，小波神经网络具有高精度、高稳定性以及较强的容错性能优点，相较于二次曲面模型，其內符合精度与外符合精度结果均优于二次曲面模型，因此，小波神经网络模型是一种可以应用在工程中的方法。

5 结束语

本文介绍了小波神经网络的基本原理，并用其进行高程拟合，通过实测数据进行分析，主要得出以下结论：小波神经网络是一种有效的高程拟合方法，其具有高精度、高稳定性以及较强的容错性能优点，相对于传统的二次曲面高程拟合模型，其具有更高的可靠性与精度，因此，在实际工程应用中，可以选择小波神经网络方法拟合高程异常。

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