时间序列非线性存在性检验方法及其应用

舒晓惠，宋金奇

（1.怀化学院 经济学院，湖南 怀化 418000；2.江西师范大学 科技学院，南昌 330027）

0 引言

对经济时间序列本身或者经济时间序列组是否存在非线性的检验，检验思路可以分为参数检验方法、非参数检验方法以及视觉计量经济学（Ocular Econometrics）。对于参数检验方法，Ramsey(1969)[1]提出了RESET检验，其思路为将序列进行AR(p)滤波后的残差对序列的滞后项及估计值的k(k=2，3，...，s)次幂进行回归，使用 F 统计量进行检验；Keennan(1985)[2]简化为仅考虑k=2的情形，同时修正了RESET检验可能存在的多重共线性；Tsay(1986)[3]则选择将交叉项也考虑进来以改进检验功效。RESET检验主要对平均的线性偏离程度很敏感。对于非参数检验方法，主要有Mcleod和Li(1983)[4]提出应用Ljung-Box Q统计量对残差序列平方检验非线性性；Hinich(1982)[5]提出应用双谱检验法，Ashley等(1986)[6]研究表明双谱检验对均值意义上的线性偏离很敏感。Brock,Dechert,Scheinkman(1996)[7]提出BDS检验，其对均值意义上的线性偏离也很敏感。Lee等(1993)[8]提出神经网络检验并与其他非线性检验进行MC比较，结果表明所用神经网络检验除对双线性模型检验效果差之外，对其他模型则相近于或优于标准检验，同时研究认为由于没有一个支配性检验方法，建议进行组合检验；舒晓惠（2010）提出使用平方残差的Q检验、BDS检验以及神经网络检验方法进行组合检验。还有一种思路则是基于视觉计量经济学思想，即对时间序列进行图形的直观非线性分析：Hinich(1982)[5]以及Ashley等(1986)[6]通过对时间序列分析画出双谱三维图，若序列为线性的，则谱图是平坦的，若序列为非线性的，那么双谱图为不平坦的；PCA（Principal Component Analysis）主成分分析图方法则是基于Packad等（1980）提出的对滤波后的时间序列进行相空间重构法，进一步画出主分量谱图，若序列为线性的，则PCA谱图为一条接近水平的直线，否则为非线性的；Gilmore(1993)[9]在对混沌的存在性检验研究中提出邻近返回检验，同时画出邻近返回检验图，舒晓惠（2010）实证研究发现，当图中呈现一定的周期性规律，则直观表明存在非线性特征。对于非线性非平稳时间序列，对其进行非线性存在检验，是非线性协整理论中的重要环节。

近年来对于非线性协整领域的研究一直是非经典计量理论中的一个前沿，对于时间序列是否存在被忽略的非线性特征，本文给出了组合检验方法，并按照Lee等(1993)[8]的思路对我国货币需求函数展开各种方法的实证研究。本文介绍了非线性存在性的组合检验方法；运用Gauss编程对我国货币需求函数的各变量序列展开非线性存在性的组合检验并给出实证研究结果。

1 非线性存在性的检验方法

按照Lee等(1993)[8]给出的对于被忽略的非线性性的定义，对于随机过程{Zt} ，令 Zt=(yt，X，其中，yt是一个标量，Xt为k×1向量。Xt可以（但不是必须）包含一个常数和yt的滞后值。若对于某些参数θ*∈Rk有P[E(yt|Xt)=X′]＜1，则该线性模型则被称为“被忽略的非线性性”的。对于序列的非线性存在性检验，基本思路是首先使用一个估计滤波器对线性结构进行滤波，具体做法是：用一个AR(p)模型来拟合序列，滞后阶数 p可用AIC来确定，其次，则是对估计的残差进行非线性存在性检验，由于非线性形式的多样性，目前并没有一种较其他方法更好的检验方法。依据Lee等(1993)[8]的研究结果，本文重点探讨Q检验、BDS检验以及神经网络检验方法，并且引入BP加强型神经网络和小波神经网络。

1.1 平方残差的Q检验

Mcleod和Li(1983)[4]提出基于平方残差的Q检验，其基本思路为对序列应用ARMA(p,q)模型滤波后的残差平方，再应用Ljung-Box Q统计量来检验序列的非线性存在性。该检验统计量为：

这里，{rt} 为残差序列的i阶自相关函数，T为样本序列长度，m为选取的检验自相关的数目。

当原假设为真时，即检验的时间序列模型为线性时，有统计量 Q(m)～χ2(m-p-q)。

本文按照Lee等(1993)[8]的研究思路，首先对检验序列进行AR(p)滤波，然后进一步对滤波后的残差序列再应用上述式（1）统计量，则有，Q(m)～χ2(m-p)。

1.2 BDS检验

BDS检验由Brock,Dechert和Scheinkman(1987)在研究混沌存在性检验中应用关联积分提出的，Liu,Granger和Heller(1992)研究表明，对于原假设为序列是独立同分布的，BDS检验也可以识别线性随机过程与非线性随机过程。其基本思路为：设原假设为{H0:xt是i.i.d.的，i=1,2,…,T}，利用相空间重构技术，设相空间Rm中不相交的两点i≠j，对于给定的某一临界距离ε，则有相空间中关联函数为：

这里，Θ(·)为Heaviside函数，即：当 u≥0，有θ(u)=1，否则θ(u)=0之间的欧氏距离（或其他范数‖·‖）。

令 S(m，ε)=Cm(ε)-[C1(ε)]m，则当原假设成立，构建统计量：M S(m，ε)渐近服从正态分布，其均值为0，方差为：C= ∫[F(z+ε)-F(z-ε)]dF(z),L= ∫[F(z+ ε)-F(z-ε)]2dF(z),而C1(ε)为C的相合估计，L的一致估计为：

由此，BDS统计量为：

实践中，应用BDS检验时，首先对序列进行AR(p)滤波将线性部分消除，则当检验拒绝原假设时，则说明存在“被忽略的非线性”。

1.3 神经网络检验

由于神经网络可以逼近任意函数，其具有广泛的应用，Lee等(1993)[8]研究了应用神经网络检验来检验被忽略的非线性：当时间序列为线性的原假设为真时，即（对于某些θ*），考虑连接增强型单隐层网络的输出个逻辑斯蒂累积分布函数：ψ(x)=1/[1+exp(-x)]），此时，最优的网络权数为；那么非线性存在性检验可表述为对于特定的 q 和 γj将检验假设=0（j=1，2，...，q）。Lee等(1993)[8]提出，检验可以利用拉格朗日乘数检验。本文按此思路，将单个时间序列的非线性存在性检验表述为：设时间序列xt与其滞后项存在关系如式（5）：

ut为白噪声，且 ut～N(0，σ2)。

在线性性原假设下，则有 f*(xt-1，...，xt-p)=0 ；那么应用 AR（p）对 xt进行滤波，得到残差序列：，进一步应用加强型神经网络估计此残差序列的辅助回归方程如式（6）：

类似Breitung（2001）的证明，式（2）的拉格朗日乘子（LM）得分统计量 TR2，在原假设为真时有：TR2～χ2(q)。考虑到神经元的共线性问题，按照Lee等(1993)[8]的建议，可用其q*个主成份代替，则有TR2～χ2(q*)。

在具体检验时，舒晓惠（2010）MC仿真研究发现，适合应用的线性加强型神经网络有:基于改进的带动量的LM算法的BP加强型神经网络，以及改进的带动量的LM算法的加强型小波神经网络模型，其中小波神经网络模型神经元函数使用高斯小波和墨西哥帽（Mexican hat）小波。

加强型S型BP神经网络模型为：

加强型小波神经网络模型为：

这里，神经元的函数为：高斯小波，ψ(x)=xexp(-x2/2)；墨西哥帽（Mexican hat）小波，ψ(x)=(1-x2)exp(-x2/2)。

2 应用

2008年国际金融危机后，各国都在实施量化宽松货币政策，我国也实施了4万亿的经济振兴计划，货币发行量迅速增长；近年来经济进入新常态，货币政策也有所改变，那么影响货币需求的变量序列的平稳性发生变化了吗？考虑到非线性性的存在，本文拟Q检验、BDS检验、BP加强型神经网络、加强型高斯小波神经网络以及加强型墨西哥帽小波神经网络方法组合检验货币需求函数的各变量序列进行非线性存在性，进而探讨相关结论。

2.1 变量选择和模型设定

考虑开放经济条件下对货币需求函数影响[10，11]，根据我国货币供应量的划分，本文使用舒晓惠等（2009）[12]给出的狭义货币(M1)和广义货币(M2)需求函数如下：

其中，m1为季节调整后的实际狭义币余额，m2为季节调整后的广义货币余额；规模变量，y为实际GDP，s为股票流通市值；国内机会成本变量，rd为我国银行间同业拆借加权平均利率，pd为通货膨胀率；国际资本流动的决定变量，e为汇率，ve为汇率波动率，rf为国外利率，pf为国外通货膨胀率；考虑我国经济开放度的增加，引入制度变量外贸依存度op；ε1,ε2为误差项。

2.2 变量序列数据来源、处理

选取1994年第1季度至2017年第3季度共95个季度数据作为计量分析的样本。以1994年1季度为基期，环比计算CPI，然后通过定基CPI将GDP、股票流通市值、M1和M2折减为实际值，并应用X12法进行季节调整，得到y、s、m1、m2和e；我国及美国通货膨胀率则根据我国季度环比CPI和美国CPI计算得到。先把进出口总额按名义汇率折算成人民币值表示，然后除以国内生产总值的季度数据得到贸易依存度(op)；汇率波动率（ve）用名义汇率取对数后的当期值减上期值乘以100得到。

2.3 非线性存在性检验

按照Lee等(1993)[8]的探讨，非线性存在性检验用于探讨平稳序列的“非线性存在性”问题。因此，首先对货币需求函数中的各变量序列分别进行差分，应用传统单位根检验方法ADF、DF-PP以及KPSS检验，其结果如表1所示。

由表1，多数变量序列均以1%显著性水平通过了差分后是平稳的，但仍有m2，y，e三变量差分没有通过ADF检验，同时，rd，ve两变量检验结果KPSS检验与ADF、DF-PP检验存在差异，因此，进一步对这些变量应用单位根的秩检验与全距检验[12]，差分后的检验结果如表2所示。

综合表1与表2的检验结果，可以得到除序列ve是水平值平稳，而其余变量为差分后平稳。进一步，对ve其他各差分序列进行AR(p)滤波后，再对其残差再应用前述组合检验方法进行非线性存在性检验。

步骤1，对于各检验序列，按表1中的滞后期数 p应用AR(p)进行拟合，得到滤波后的残差序列，记为r(Dm1)，r(Dm2)，r(Dy)，r(Drd)，r(Drf)，r(Dpd)，r(Dpf)，r(ve)，r(Ds)，r(De)与r(DOp)。

步骤2，应用Q检验、BDS检验、BP加强型神经网络、加强型高斯小波神经网络以及加强型墨西哥帽小波神经网络方法组合检验货币需求函数的各序列进行非线性存在性检验结果如下页表3所示。

表1 单位根的ADF、DF-PP以及KPSS检验结果

表2 单位根的秩检验与全距检验结果

由表3可知，各检验统计量检验结果一致通过存在非线性性的变量有：r(Dm1)，r(Dm2)，r(Drd)，r(Dpd)，r(ve)，r(Ds)与 r(DOp)；检验结果基本一致的变量有：r(Dy)，r(Drf)，r(Dpf)与r(De)；序列ve由于滞后期为0，因此各方法无法给出检验结果。综合各检验统计量的结果看，式（9）与式（10）建立的货币需求函数中，各经济变量序列均存在不同程度的被忽略的非线性。由此可见，在实证研究货币需求函数的稳定性问题时，应该充分考虑各经济序列可能存在的非线性对应用传统检验统计量的影响；同时，基于线性性前提的线性协整理论在货币需求函数的稳定性探讨上的适用性也值得商榷。因此，也有必要在货币需求函数模型构建也检验中引入非线性研究方法。

表3 货币需求函数各变量序列的非线性存在性检验结果

3 结论

本文对货币需求函数各序列按照Lee等(1993)[8]的思路，应用Q检验、BDS检验、BP加强型神经网络、加强型高斯小波神经网络以及加强型墨西哥帽小波神经网络方法等组合检验方法进行实证检验，结果表明，组合检验可以发现经济序列中的非线性特征。由于神经网络理论上对任意函数具有无限逼近的特点，同时也存在过度拟合的问题，因此，在进行具体操作时，需要考虑不同神经元函数的特性，选择神经元的个数与逼近误差等，实证表明线性加强型神经网络可以应用于非线性存在性的检验。本文实证结果也表明，货币需求函数建模中的各经济变量序列均存在不同程度的被忽略的非线性，这有必要在货币需求函数模型构建也检验中引入非线性研究方法。最后，实证研究为经济变量序列存在的非线性特征提供了一个重要证据，这也进一步要求我们在研究经济内在规律中考虑非线性协整理论与方法的应用。