一类超二次二阶Hamilton系统的周期解

聂千千，郭 飞

(天津大学数学学院，天津 300354)

1 主要结论

本文主要研究二阶非自治Hamilton系统

(1)

Hamilton系统周期解的存在性问题由Rabinowitz[1]于1978年解决，此后许多文献应用临界点理论和变分法对Hamilton系统周期解的存在性和多重性进行了深入研究.其中有很多文献考虑了形如(1)式的系统：在原点附近时，系统的动态行为主要由矩阵函数B(t)主导，但随着|x|的增加，能量函数F超二次增长并占据主导地位.李树杰[2]在矩阵函数B(t)是常值对称矩阵、F满足经典超二次条件下得到了系统周期解的存在性.随后李树杰和Willem[3]推广了上述结论，研究了矩阵函数B(t)为连续函数矩阵的条件下系统周期解的存在性.2014年，Pipan等[4]讨论了系统(1)在矩阵函数B(t)的元素仅是L1可积的情况下周期解的存在性问题.2016年，李林等[5]研究系统(1)时令函数F(t，u)满足下列条件：

其中λl-1和λl将在本文的第2部分介绍.在这些假设条件下，文献[5]证明了系统 (1)至少有一个T-周期解，若进一步假设F(t，-u)=F(t，u)，则证明了系统(1)有无穷多个T-周期解，结果如下：

定理1.1[5]假设函数F满足条件(F1)—(F3)，则系统(1)至少有一个T-周期解，且它的二阶弱导数L1可积.

定理1.2[5]假设函数F(t，u)关于u是偶的，满足条件(F1)—(F2)，则系统(1)有无穷多个T-周期解，且它们的二阶弱导数L1可积.

本文将条件(F2)进行了如下推广：

(F2′) 存在常数α>0，R>0，使得

该条件由唐春雷等[6]提出，本文用这一推广的条件得到了如下更为一般的结论：

定理1.3假设函数F满足条件(F1)，(F2′)，(F3)，则系统(1)至少有一个T-周期的弱解.

定理1.4假设函数F(t，u)关于u是偶的，且满足条件(F1)与(F2′)，则系统(1)有无穷多个T-周期的弱解.

2 预备知识

在空间L2([0，T]，RN)×L2([0，T]，RN)上定义如下的双线性型a(·，·)和b(·，·)：

b(u，v)=-((B(t)+IN)u(t)，v(t))dt.

(2)

由文献 [5] 的结论知

(3)

定义双线性型d(u，v)=a(u，v)+b(u，v)，有如下引理：

d(u，u)>δ‖u‖2，u∈H+.

定义2.1[7]设E是实Banach空间，泛函φ∈C1(E，R).若序列{un}⊂E，{φ(un)}有界和‖φ′(un)‖(1+‖un‖)→0蕴含{un}有收敛子列，则称泛函φ满足Cerami条件，简称(C)条件.

引理2.2[5](环绕定理) 设E是实Banach空间，泛函φ∈C1(E，R)，A，B是E的两个子集满足A与B环绕，且

假若泛函φ满足(C)条件，则泛函φ有一个临界点.

引理2.3[8](喷泉定理) 假设泛函φ∈C1(E，R)满足(C)条件.对于任意k∈N，存在ρk>rk>0使得：

其中Yk和Zk如上述定义.则泛函φ有一列趋于正无穷的临界值序列.

3 主要结果的证明

引理3.2假设条件(F1)和(F2′)成立，则泛函φ满足(C)条件.

|φ(un)|≤M，‖φ′(un)‖(1+‖un‖)≤M，∀n∈N*.

为了证明{un}有收敛子列，首先用反证法证明{un}有界，证明的想法来自文献[6].

(4)

(5)

又由条件(F1)知存在常数R1>R>0使得

F(t，u)≥0，∀u∈RN且|u|>R1，t∈[0，T].

(6)

因为函数F(t，u)连续可微，故存在常数C>0，使得

(7)

由(6)—(7)式，

F(t，u)≥-C，∀u∈RN，t∈[0，T].

(8)

再由Fatou引理以及(5)和(8)式，

这与(4)式矛盾.

若v≡0，则由(4)式得

(9)

令Ωn={t∈[0，T]||un(t)|>R1}，由(7)式以及条件(F2′)，

可得‖un-u‖→0(n→∞).这就证明了引理3.2.

定理1.3的证明

证明由引理3.1和引理3.2，泛函φ满足引理2.2的所有假设，从而系统(1)至少有一个T-周期的弱解.

定理1.4的证明

证明借助引理2.3来证明.显然，泛函φ是偶的.引理3.2说明泛函φ满足(C)条件，因此为了证明定理1.2，只需证明引理2.3中的条件(A1)和(A2)成立.

-F(t，u)≤-(1+CB)M1|u|2+C1，∀u∈RN，t∈[0，T]，

(10)

其中C1是常数.故对任意u∈Yk，由(3)和(10)式，

(11)

(12)