一道典型试题的推广

李星妍　武海辉

【摘要】本文主要讨论对一道典型隐式微分方程x3+（y′）3-3xy′=0的几种推广.

【关键词】不显含y的隐式微分方程

本文我们采用三种方法对x3+（y′）3-3xy′=0微分方程进行推广.具体如下：

推广一把原方程的x3变为xn，（y′）3变为（y′）n，3xy′变成xny′，将原方程变形为xn+（y′）n-xny′=0.（1）

分析首先观察方程（1）是一个可解出x的隐式微分方程，所以我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.

解令y′=tx，方程（1）可变化为

x=t-1+tn-1，y′=1+tn.

又dy=dydxdx=（1+tn）1t+tn-1′dt，

dy=-1t2+（n-1）tn-2-tn-2+（n-1）t2n-2dt.

两边同时积分可得

y=1t+tn-1-1n-1tn-1+n-12n-1t2n-1+c（其中c是任意常数）.

综上所述，方程（1）的通解为

x=1t+tn-1，y=1t+tn-1-1n-1tn-1+n-12n-1t2n-1+c

（其中c是任意常数）.

推广二原方程的x3变为kxn，（y′）3变为m（y′）n，3xy′变成kxny′，方程变为kxn+m（y′）n-kxny′=0.（2）

分析首先观察方程（2）是一个可解出x的隐式微分方程，所以我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.

解令y′=tx，方程（2）可变为

x=t-1+mk-1tn-1，dydx=k+mtnk.

又dy=dydxdx=1+mktn1t+mtn-1k′dt，

dy=-1t2+mk（n-1）tn-2-mktn-2+m2k2（n-1）t2n-2dt.

两边同时积分可得

y=1t+mktn-1-mk·1n-1tn-1+m2k2（n-1）12n-1t2n-1+c（其中c是任意常数）.

综上所述，方程（2）的通解为

x=1t+mtn-1k，y=1t+mktn-1-mk·1n-1tn-1+m2k2·n-12n-1t2n-1+c

（其中c是任意常数）.

推广三原方程x3变为xn，（y′）3变为（y′）n，3xy′变为mx（y′）n，方程变为xn+（y′）n-mx（y′）n=0.（3）

分析首先观察方程（3）是一个可解出x的隐式微分方程，所以我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.

解令y′=tx，方程可变为

x=1mtn+1m，dydx=1mtn-1+tm，

又dy=dydxdx=1mtn-1+tm1mtn+1m′dt，

dy=-nm2·1tn-1+n+1-nm2·1tndt.

两边同时积分可得

y=-nm2·1-2n+1t2n+1-nm2·1-n+1t-n+1+c（其中c是任意常数）.

综上所述，方程（3）的通解为

x=1mtn+1m，y=-nm2·1-2n+1t2n+1-nm2·1-n+1t-n+1+c

（其中c是任意常数）.

推广四将原方程的3xy′变成nxy′，则原方程变形为x3+（y′）3-nxy′=0.（4）

分析首先观察方程（4）是一个可解出x的隐式微分方程，所以我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.

解令y′=tx，方程（4）可变化为x=nt1+t3，y′=nt21+t3，

又dy=y′dx=nt21+t3nt1+t3′dt=n2t2（1-2t3）（1+t3）3dt，

两边同时积分可得y=-n22·1（1+t3）2+2n23·1（1+t3）+c（其中c是任意常数）.

综上所述，方程（4）的通解为

x=nt1+t3，y=-n22·1（1+t3）2+2n23·1（1+t3）+c

（其中c是任意常数）.

【参考文献】

[1]赵临龙.常微分方程[M].武汉：华中师范大学出版社，2014.

[2]王克，潘家齐.常微分方程学习指导[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]朱思銘.常微分方程学习辅导与习题解答[M].北京：高等教育出版社，2015.