数学表示：打通初中数学学习与运用的“任督二脉”

孙咸理

[摘 要] 初中生在数学学习中常常表现出“学”难以致“用”的情形，其机制性原因在于学生的输入没能有效地转换为输出. 要打通学与用的“任督二脉”，可以借力“数学表示”. 让学生在数学学习与运用的过程中充分进行数学表示，可以促进学生信息加工能力的提升，进而提升学生运用数学知识的能力.

[关键词] 初中数学；数学学习；数学运用

在初中数学教学中总遇到一个问题，那就是学生之所学，不能真正之所用. 就拿数学解题来说，一线教师最烦恼的是，学生对数学知识的运用，需要多次重复才能收到应有的效果，也才足以应付当前以考试为主要形式的评价. 而就算训练到一定程度之后再遇到同样的问题时，一旦问题的情境发生变化，学生所掌握的知识又不足以应付这种变化. 于是学生着急、教师揪心：怎么一变就不会了呢？

笔者分析这一现象后认为，这里存在一些学习的内在机制问题，即学生所学不足以应付习题之所用的一个重要的原因是在“数学表示”上出了问题. 如果学生在遇到熟悉问题时能够顺利解决，那很大程度上是机械训练的结果，类似于行为主义心理学中的条件反射，而当问题情境发生变化时，这种反射就不能发生了，自然新的问题求解也就遇到了困难. 那么，为什么说数学表示可以解决这一问题呢？这是因为，在初中数学教学中，学生之所学，实为基于教师提供的情境进行的知识建构，而学生之所用，实为新情境中条件发生改变时对创新思维的需要. 这两者犹如武侠小说中高手修炼时的“任督二脉”，它们并不天然相连，只有用高明手段打通之后，才能提升修炼者的功力. 而数学表示之所以具有打通“任督二脉”的作用，关键就在于，其能够同时面向学与用，并在思维的高效运用中有所突破. 下面，笔者分三点进行简述.

数学表示的内涵与外延概述

数学表示是一个极为通俗的概念，其是指学生在学习过程中对数学概念、结论、问题等内容的理解，用属于数学范畴的语言、文字、符号或图表的形式将其表示出来.

这个表示不同于学生照用现成的数学概念表述. 比如学生学习全等三角形，不是说照着教材上说出“形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合的图形叫全等形”就行，因为这不是真正的数学表示，而只是现有数学语言的直接复述，充其量只用到了大脑的记忆功能，而没有涉及思维. 真正的数学表示是面向思维的，学生在数学表示的过程中，需要通过自己的思维去加工所学对象，进而用数学语言进行描述. 显然，这里既有最基本的精确描述的要求，其指向学生的概括能力，同时也指向信息的有效输入与输出，因此是一个信息加工的过程.

初中阶段的数学学习需要学生在数感、符号意识、空间观念、几何观念、模型思想等方面形成较为深刻的认识，这种认识显然不是自然发生的，更加不是在行为主义式的反射中形成的，而是在学生学习、内化之后，经由有效的数学表示形成的. 数学表示的内涵可以在数学家格劳斯的描述中获得认识，其在《数学教与学研究手册》中明确指出，“（数学）表示的方法通常是外部的，其形式包括口头语言、书面符号、图画或其他物理客体等”，这样的表述给笔者的启发是，数学教学一定要强调学生在学习之后的有形表达，只有学生能够将自己的所学，用自己擅长的形式表示出来时，才能说学生对新学知识基本建构成功了. 譬如上面所举的“全等形”，学生可以用语言描述（最好是自己的语言，而不是课本上语言的直接照搬）；可以用动作描述，如比画两个什么样的图形怎样完全重合；还可以现场模拟，如有学生用两本教材叠在一起，说这就是全等形，笔者以为这种信手拈来的动作，就是有效的数学表示.

同时笔者以为，数学表示也不是简单的数学表示，其更多地反映了学生在数学学习中的所思、所想. 教师可以从学生的数学表示中看到他们建构数学知识的过程，知道好在哪里、差在何处，这样，教师的教学更可以有的放矢，从而更顺利地帮学生打通“任督二脉”，真正学以致用.

利用数学表示促进知识理解

学生在学习的过程中，很多时候对数学知识的理解似乎并不是自然发生的，机械学习的情形比较常见. 我们在责怪学生学得太呆板的时候，似乎也忘记反思为什么学生会这样了. 显然，只简单地责怪学生是没有用的，还是要从学习机制上着手，让学生摆脱“死学”的状态. 基于以上分析，显然数学表示可以发挥这样的作用.

在“最短路径问题”的课题学习中，可以从“两点的所有连线中，线段最短”引入“最短路径”这一问题，然后提供一些真实情境，让学生思考如何解决问题. 这里借助教材，可以提供这样的问题：如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河（l）边饮马，然后回到B地，牧马人到什么地方饮马，可使所走的路径最短？

笔者以为解决这一问题时不能太快，那慢要慢在哪里呢？慢在问题分析、解决的过程中，具体包括如下三点：

一是对问题的重新表征. 这里可以对原题进行一些改造，即在提供文字命题的时候，不提供具体的图形，而是让学生根据问题的表述去构思图形，这也是一种数学表示，是将文字信息转换为图像信息的过程. 事实证明，这一过程中的教学含金量还是挺高的，因为我们通常向学生强调审题的重要性时，所指的审题绝对不只是读题，而是理解题目的意思，而当教师给学生一个明确的任务——用图形表示题意时，其便具有任务驱动的性质. 事实也证明，对于这一任务，学生是感兴趣的，因为图形本就是形象思维加工的对象，初中阶段的学生仍以形象思维为主要形式，于是他们就根据题目中给出的A点、B点、笔直的河边等，构架三者之间的位置关系. 这里其实又是一个数学抽象的过程，最终学生形成的两点（A，B点）和一线（表示河的l），既简洁又明晰，可以为学生解决这一问题奠定良好的基础.

二是对问题解决的表征. 抽象问题得到图像之后，这个问题该如何解决呢？原问题中“牧马人到什么地方饮马”如何转变成“寻找河边的某个点”，“可使所走的路径最短”如何与轴对称知识联系起来，这些都是本环节的重要问题. 笔者在教学中所做的引导是：如果直接从A点到B点，那自然是线段最短；现在多了一个中转的过程，假设河边的点是C，那就是求AC+BC距离之和最短，如何保证其最短呢？在这个问题的驱动之下，学生思维的对象显然就是两条线段及其求和了. 此时教师不要过于提前给学生以提示，而要让学生自己想，最多提醒学生轴对称知识在此是不是可以运用. 这样置学生于问题解决的困境当中，可以“逼”着他们去思考. 此时采用的教学方式可以是合作学习，因为学生此时的合作必然会让学生有一个充分的交流过程. 交流意味着语言运用，语言运用意味着对题意的理解与把握，而这就是一个比较充分的数学表示过程. 且随着讨论的深入，这个数学表示会越来越精确. 一旦学生想到求A点或B点的对称点时，这个数学表示就基本完成了.

三是对问题解决过程回顾的表征. 一个数学问题是如何得到解决的？这个问题常常游离于学生的数学学习之外，因为在实际教学中我们看到的更多的情形是，学生解完一道题之后就去解下一道题（不信你看试卷讲评时，常常是一页讲完了，学生随手就翻向后面一页了，丝毫没有对刚刚所讲最后一题进行回顾的意思）. 笔者以为，这体现了学生缺乏学习反思的意识与习惯. 但学习反思又不能只是简单的回忆，一定要让学生把解题过程说出来或比画出来，至少要让学生说说这一题先怎么解，再怎么解. 不要小看这个过程，學生的这一数学表示过程，实际上是一个解题思维提纯的过程. 不让学生说，学生大脑里的思路常常是模糊的；让学生说，他们必然会重新加工这个解题过程，于是就会“逼”着将思路重新整理，进而清晰地表达出来.

以上三步都是数学表示的重要环节，其对于学生清晰地掌握、运用数学知识非常有益.

数学表示对学习品质的完善

行文到这个地方，相信不少同行已经认识到，数学表示不仅可以让学生有效地掌握所学知识，更能提升学生的数学学习品质.

有经验的同行都知道，学生学得好不好，最为关键的是学生的数学学习方法是否正确，而学习方法受学习品质的支撑. 学生只有拥有好的学习品质，才可能进入较好的学习状态. 数学表示作为将学生的内隐思维过程清晰化的过程，从机制上保证了学生必须将思维加工的对象用语言、动作、符号、图表等表示出来. 进入数学表示的学习状态，思维就会对所学内容进行再加工，从而进行数学表示，这就意味着，对数学知识的掌握是可靠的，是可以有效地向外输出的. 反之，不能进行数学表示，即意味着不能输出，不能输出，自然就不可能学以致用了.

总之，数学表示在初中数学教学中起着由“学”向“用”的转承作用，可以有效打通学、用的“任督二脉”，从而让学生的数学学习变得更加高效.