发展学生几何直观能力的举措与案例分析

王蓉

[摘 要] 本文通过增加学生实验操作的机会、几何与代数融合、培养学生积累分析基本图形的经验等方面的内容，对如何培养初中生几何直观能力进行了详细的思考.

[关键词] 初中数学；几何直观能力；途径

用通俗的语言来解释几何直观这一数学领域当前的热门名词就是：看图说话与讲理. 几何直观能够使学生在复杂数学问题的思考中将问题处理得更加简明和形象，甚至直接预测出问题的结果. 著名数学家徐利治教授曾经表达过喜欢直观的数学，他认为能把定理的直观含义与证明方法的直观思路搞清楚、弄明白，就意味着真正的掌握了. 由此可见，数学教学中对学生进行几何直观能力的培养对于学生来说极为重要. 几何直观在初中数学教学中的应用能很好地帮助逻辑思维尚未成熟的初中生更好地理解与学习数学. 那么，教师在日常教学中应该怎样对学生的几何直观能力进行培养呢？具体途径有哪些呢？

增加实验操作，培养学生积累活动的经验

数学学习虽然有诸多方法，但不同的内容却需要适合的方式进行呈现，才会取得令人满意的效果. 教师在教学中应根据教学内容与学生已有经验尽量多地创设一些科学的实验操作，让学生在实验操作的活动探索、交流、猜测以及论证中获得更加深刻的学习体验.

例1 矩形和菱形的教学.

矩形教学是在学生已经具备相关平行四边形知识的基础上进行的，教师可以首先要求学生在预习环节利用硬纸板制作一个边能转动的平行四边形，然后在课堂教学中引导学生将平行四边形的一个角转成90°后对手中四边形的形状是否发生变化进行观察. 在学生操作、觀察的同时适时引导学生思考，并与学生一同小结矩形的概念和性质：矩形的四个角都是直角. 经过一定的实验、操作与观察，学生很快就可以得出矩形的对角线是相等的. 在这一性质的基础上进行进一步推理可以得到矩形的性质定理——矩形是一个拥有两条对称轴的轴对称图形，对边中点的连线所在的直线就是其对称轴.

菱形的学习可以在平行四边形的制作中使其四条边的长度相等，然后类似进行教学.

例2 折叠中的无理数.

教学伊始，首先请学生取出课前准备好的A4纸，并根据教师的要求进行折叠. 第一步，如图1，沿∠ADC的平分线进行折叠，使点A落在DC边上并记作F，将折痕线段记作DE，点E在A4纸的长边上；第二步，如图2，经过点D继续翻折纸，使点E在DC边上.

分析 这是学生亲手实践操作的两个简单案例，学生在自己的操作与探究活动中很快展现出浓厚的学习热情，学生的各种感官都被充分调动起来了，并开始了愉快而积极的数学体验.

几何与代数的整合

二元一次方程组与两直线交点间的联系、实数与数轴间的对应、乘法公式的几何推导、函数图像与方程等代数与几何相互整合应用的案例比比皆是且耳熟能详，代数问题很多时候给学生繁难且抽象的感觉，但几何图像的直观性却能在很大程度上使其难度与抽象度大大降低.

例3 求满足1

相当一部分学生解决此类绝对值不等式问题时会表现出思维定式的缺陷，常常会将其转化为不等式组x-1>1，x-1<4 后进行求解，教师在此类问题的解题教学中可以这样设计教学过程（如下）.

师：看到这种绝对值不等式问题，大家会联想到哪些知识呢？绝对值的概念大家还记得吗？我们首先将数轴画一下，请大家结合数轴来思考x-1具有怎样的几何意义（如图3）.

生1：x-1表示的应该是x和点1在数轴上的距离.

师：那1

生2：1

师：大家结合原不等式组的几何意义，在数轴上找一找符合条件的整数吧.

生3：符合条件的整数x有-1，-2，3，4.

分析 教师关注学生几何直观的培养，应注重数学核心内容的理解这一基础. 本案例中绝对值概念的复习使学生自然能够联想、思考绝对值概念所具备的几何意义，数学问题的解决因此变得直观而简便，一些不必要的分类讨论与复杂计算也因此得到了有效避免，代数问题因此得到了图形化的直观展示，学生顿觉难度降低的同时也能掌握数学问题解决的又一种方法.

培养学生积累分析基本图形的经验

任何一个几何图形一般来说都会包含几个基本图形，学生在接触几何数学问题时，如果能够在自己的观察、发现以及分析中快速在复杂图形中找出其中的子图形，那这一几何问题的解决也就相对容易了许多. 因此，教师在日常教学中应注重学生观察、分析几何图形能力的培养，使学生能够在复杂几何图形中很快剥离出其中所包含的子图形以解决问题. 比如，教师在相似三角形的教学之后就应有意识地引导学生发现、归纳“一线三等角”型常见基本图形（如图4），这种引导训练能使学生在以后的几何解题中很快寻得突破.

例4 如图5，E为四边形ABCD中AB边上不与A，B重合的任意一点，分别连接ED，EC，则可将四边形ABCD分成三个三角形. 当其中两个三角形相似时，E就可以称作四边形ABCD中AB边上的“相似点”；当这三个三角形都相似时，E就可以称作四边形ABCD中AB边上的“强相似点”.

（1）如图5，若∠A=∠B=∠DEC=45°，那么点E是四边形ABCD中AB边上的相似点吗？为什么？

（2）在如图6所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点上，你能在图中画出矩形ABCD中AB边上的强相似点吗？

（3）将图7中的矩形ABCD沿CM折叠，并使点D落在AB边上的点E处，如果点E正好是四边形ABCD中AB边上的一个强相似点，你觉得AB和BC间存在怎样的数量关系呢？

这一问题考查的主要知识点为相似三角形中“一线三等角”的应用. 如果学生对图4中几个基本图形的掌握和应用都比较有心得，那他们在审题、观察图形并略作思考之后便能“一眼定乾坤”了，问题的解决自然也会更加简便与明了. 由此可见，基本图形的学习与经验积累对于学生几何直观能力的培养来说是一个极为有效的途径. 因此，教师在平常的教学中应该为学生基本图形的学习与经验积累创造更多的机会. 教师可以引导学生在课堂上、作业中以及课外阅读时养成对图形观察、思考与总结的意识与习惯，长期的积累往往能在学生头脑中形成一套待用的基本图形库. 学生面对问题时，在图形库中进行积极的信息调动，也正是对自身几何直观能力的锻炼. 长期的积累，催生学生解题能力的提升，也实现了由量变到质变的学习迁移.

不过，培养学生几何直观能力也不是一件一蹴而就的事，教师在日常教学中应经常进行有意义的设计与反思，使学生能够在教师的精心设计、引导与启发中不断观察、操作与归纳，逐步提升自己在复杂图形中的分析能力.