解三角形常见解题错误辨析

■四川省巴中中学 肖 斌(特级教师)

在利用正弦、余弦定理解三角形问题时,由于涉及的知识点多、综合性强,许多同学易出现这样或那样的错误。下面分类列举典例、辨析是非、集中警示,旨在帮助同学们夯实内功、优化思维、提高“免疫力”。

误区一：粗心大意、忽视结论与题设的相容性,忘记代入检验致误

所以B=45°或B=135°。

当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=1,此时AC=1;

当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=5,此时AC=。

辨析：上述解法,貌似无错,殊不知,在审题时栽了跟头。事实上,当B=45°时,AC=1,计算发现AC2+AB2=12+12=2=BC2,此时△ABC为直角三角形,不合题意;同理当B=135°,求得AC=,符合题意。故本题正确答案为AC=。

练习1 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cosB=,b2=ac,求B的大小。

误区二：以偏概全、忽视分类讨论致误

例2 在△ABC中,A=60°,a=43,当此三角形有唯一解时,b满足的条件是( )。

图1

辨析：错解中实际上只考虑了B≥A的情形。如果B＜A,那么三角形也是有唯一解的。错解正是受图形影响、以偏概全产生了错误。

正解：若B＜A,三角形有唯一解,只需0＜b＜43;

若B≥A,三角形有唯一解,只需bsinA=bsin60°=3b=a=43或b=a=43,即2 b=8或b=43。

综上,0＜b≤43或b=8,故选D。

练习2 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinC+sin(B-A)=sin2A,则△ABC的形状为。

正解：因为sinC+sin(B-A)=sin2A,所以sin(B+A)+sin(B-A)=sin2A,整理得sinBcosA=sinAcosA 。当cosA ≠0时,则sinB=sinA,由正弦定理得b=a,此时△ABC为等腰三角形;当cosA =0时,则A=π,此时△ABC为直角三角形。故正确

2答案是:等腰三角形或直角三角形。

警示：同学们容易犯的错误是:得到sinBcosA=sinAcosA后,两边直接约去cosA ,得sinB=sin A,b=a,片面断定三角形是等腰三角形,不知不觉中漏掉直角三角形的情况。还有一种错误是:虽然分类讨论了,但最后答案却写成等腰直角三角形。殊不知,“等腰直角三角形”是“既是等腰三角形又是直角三角形”的含义,与“等腰三角形或直角三角形”有着截然不同的含义。

误区三：忽视三角形中“小边对小角,大边对大角”隐含关系致误

例3 (2017年高考全国Ⅲ卷文数第15题改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=6,c=3,(1)若C=60°,则B=;(2)若B=45°,A=。

又B=45°,因此A=75°。

辨析：上述解法,忽视边b＜c,则角B＜C的隐含信息。第一问求得想当然得到B=45°或B=135°,出现增解错误。第二问又没有注意到角C有两解,求得后,武断认为C=60°,导致角A只有一解,造成漏解错误。

因为b＜c,所以C＞B=45°,C=60°或C=120°,故A=75°或15°。

警示：在△ABC中,A＞B⇔a＞b⇔2RsinA＞2RsinB⇔sinA＞sinB。

故△ABC是直角三角形。

警示：解此题同学们需防范两类错误:一是由sin2A=sin2B,贸然得2A=2B,A=B,故△ABC是等腰三角形;二是虽由sin2A=sin2B,得出A=B或A+B=,但忽视b＞a,错误地判断△ABC是等腰三角形或直角三角形。

误区四：顾此失彼、忽视进一步缩小角的范围致误

例4 (2015年高考湖南卷理数第17题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=btanA,B为钝角。

(2)求sinA+sinC 的取值范围。

辨析：上述解法在求解第(2)小题时,对角A的取值范围顾此失彼、思考不深入导致错误。事实上,求解时除考虑A为锐角外,还需要考虑C为锐角,即需利用三角形内角和定理将角A、C的范围转化为关于A的不等式(组),进而缩小角A的范围,获得正确答案。

正解：(1)解题过程同上。

练习4 (由人教A版必修四P138.1题改编)锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=3A,则取值范围是。

由A+B+C=180°,B=3A,得C=180°-4A。

因为△ABC为锐角三角形,所以A,B,C三个角均为锐角,即同时满足:

0＜A＜90°,0＜B=3A＜90°,0＜C=180°-4A＜90°。

解得22.5°＜A＜30°,所以cos30°＜cosA＜cos22.5°。

所以2＜4cos2A-1＜1+的取值范围是(2,1+2)。

警示：这是一道由课本习题改编的耐人回味的新题,能力要求极高:一是需用正弦定理进行边角互化;二是需用二倍角公式推导三倍角公式(即课本题目);三是需正确诠释锐角三角形的定义,即三个内角都是锐角求得角A的范围;四是需用余弦函数单调性及降幂公式求出b的取值范围。全都是核心主a干知识,哪一个环节不过关,都做不出来。可见,本题是一道源于教材、高于教材,兼具基础检测与核心素养考查的好题。

误区五：各自为政、忽视制约条件致误

例5 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=+,C=30°,求a+b的最大值。

错解：因为C=30°,所以B=150°-A。由正弦定理得:

辨析：错在未弄清A与150°-A之间的关系,本题A与150°-A是相互制约的,不是相互独立的两个量,sinA与sin(150°-A)不能同时取得最大值1,因此所得的结果也是错误的。

正解：因为C=30°,所以B=150°-A。

故当且仅当A=75°时,a+b的最大值为8+43。

练习5 在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c已知cosC的值。

误区六：马失前蹄、忽视三角形的构成条件致误

例6 设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围。

易知2a+1为钝角三角形的最大边长,设其对角为θ,则90°＜θ＜180°。

辨析：当a=1时,a+(2a-1)=2,2a+1=3,则a+(2a-1)＜2a+1,显然,此时它们不能构成三角形。“皮之不存,毛将焉附?”连三角形都无法构成,还能构成钝角三角形吗?上述解法无疑是错误的。错解错在忽视了三角形的构成条件,即“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,当然有时可变通运用其等价定理:“三角形中,较小的两边之和大于最大边”。

正解：接错解,注意到三角形三边的构成条件,得a+(2a-1)＞2a+1,解得a＞2,故实数a的取值范围为(2,8)。

警示：解三角形中若涉及边,要特别注意:“三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”及“三角形中,大边对大角、小边对小角”等性质。

练习6 在△ABC中,如果AB=AC,求函数y=cos A+cos B+cos C的取值范围。

正解：设内角A,B,C的对边分别为a,b,c。由AB=AC,得b=c,由余弦定理得:

警示：本题若忽视三角形三边所固有的性质:任意两边之和大于第三边,就会得出函数y=cosA+cosB+cosC的取值范围为的错误答案。

总而言之,解三角形中出现的形形色色的错误,其根源在于基础理论不牢、思维方式不严谨。请同学们务必在以下细节上多多用心、避免“阴沟里翻船”。(1)三角形内角和定理;(2)锐角三角形的三个内角都是锐角,钝角三角形中有一个角是钝角,其他两个角必是锐角;(3)三角形中,大边对大角、小边对小角;(4)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;(5)在△ABC中,a≥b⇔A≥B⇔sinA≥sinB⇔cosA≤cosB;(6)在△ABC中,sin2A=sin2B⇔2A=2B或2A+2B=π⇔A=B或A+B=⇔△ABC为等腰三角形或直角三角形。