多体系统动力学的案例教学研究

张青斌 葛健全 邹 文 丰志伟

（1.国防科技大学空天科学学院，湖南 长沙 410073；2.湖南商学院，湖南 长沙 410073）

多体系统动力学主要研究若干个柔性和刚性物体相互连接所组成系统的运动规律的科学，包括多刚体和多柔体系统动力学。多体系统动力学是一般力学领域的研究热点和难点之一，可为航空航天、机械、兵器领域中大量复杂系统的动力学分析和优化设计提供强有力的理论工具与技术支撑。

一、教学改革的迫切需求

随着航空航天工程、机械车辆工程、数值计算技术的发展，多体系统动力学研究范畴已经从原有的多刚体有限自由度的力学系统，拓展到包含多物理场、刚-柔耦合、非光滑、多尺度的复杂力学系统，并逐步发展成为具有多学科交叉特点的应用基础学科。多体系统中庞大的各体个数和自由度、各体之间复杂约束方式以及抽象的力学原理，导致动力学方程的推导变得极其复杂，造成很大的授课难度［1］。

多体系统动力学是一般力学与力学基础研究生专业的核心课程，具有较深的理论性和很强的工程应用性。从教学层面来说，多体系统动力学作为一般力学与力学基础专业的核心课程，会涉及抽象的经典力学原理和较多的现代计算技术，涉及理论力学、材料力学、弹性力学、分析力学和应用数学等多种基础理论知识，同时也具有很强的综合性与应用性，还存在许多有待深入研究的问题。从课程体系的角度来说，该课程既适于提高研究生的理论水平，也适于与科研前沿相结合培养研究生的综合创新能力。从授课学生的角度来说，研究生通常来自不同的本科院校，具有不同的专业知识体系和不同的研究方向，因此授课学生不仅在性格、习惯情感和心理等个人素质方面存在一定差异，而且还在知识基础、思维方式和学习动机等方面存在较大差异。上述三个方面的主客观原因，就要求授课老师必须改变传统的灌输式教学方法，积极调动学生的兴趣，充分发挥其主观能动性，培养对多体系统动力学问题的研究兴趣。为此，笔者结合我校的教学大纲要求，从“激发学生的学习热情、设计启发性的教学案例、制订模拟科研过程的大作业”三个方面的进行教学改革。

二、激发学生的学习热情

与本科生相比，研究生的世界观和人生观初步定型，一般都有比较清晰的人生规划和学科专业发展目标。更为重要的是，研究生作为未来科学研究的生力军也具有较强的求知欲、自学能力和自主意识，善于吸取新思想和新方法，而且特别希望专业教师讲授最新的研究成果［2］。由于学生来源比较广泛，选课动机差异很大，也需要考虑因材施教的客观要求。事实上，依据学习主动性的强烈程度，可将学生大体分为三个层次：第一层次的学生十分关注自己未来的研究方向和研究兴趣，学习主动性很高；第二层次的学生，主要按照导师的要求和规划，选修了该课程；第三层次的学生则没有太多想法，只是按学校的学分规定被迫选课。另外，从专业基础的掌握程度上，也可把学生大体分为三个层次：第一层次的学生具有扎实的数学力学基础以及飞行力学和控制原理等相关的专业背景知识，少数还具有较高的计算机编程能力。这层次的学生几乎没有学习困难情况发生。第二层次的学生仅仅具有理论力学和材料力学等必要的力学基础知识，以及高等数学和矩阵分析等基本的数学基础。这层次的学生通过努力也能取得较好的学习效果。第三层次的学生主要是跨专业选修，缺乏必要的基础知识，存在较大的学习困难，也具有一定程度的“畏难情绪”。

为此，我们在绪论课中增加了较宽泛的工程应用案例，主要体现在三个方面：（1）从学科发展历史的角度，系统地介绍相关理论研究方向、应用研究方向、研究热点和难点以及可能的创新点，引导学生养成学习热情。（2）具体地介绍型号研制中的趣闻轶事和重大技术突破，比如我国航空航天中卫星和载人飞船降落伞回收系统中的多体动力学问题（如图1所示）。特别是某型号卫星帆板展开过程的机械故障与解决措施、某物-伞动力学与作战应用（如图2所示）等，使得学生充分认识到多体动力学具有重要的工程应用价值［3］。（3）让学生在课堂演示打羽毛球或跳远运动的标准动作（如图3、图4所示），分析其中多体动力学原理，使得学生了解到多体动力学具有广泛的应用背景。通过课堂讨论和分析，大家主动探索解决问题的方法，大大活跃了课堂气氛。总之，通过多层次的教学案例，学生从过去被动接受知识变为主动接受知识并积极去探索，学生在学习过程中充分发挥主观能动性，也促使不同层次的学生确定不同层次的学习空间，自主地设立学习目标，确定学习任务和选择学习内容。

图1 某卫星多体系统

图2 物—伞多体动力学案例

图3 跳远运动的动作流程

图4 打羽毛球的动作规范

三、设计启发式的教学案例

多体系统力学的基础理论十分抽象，如果过分注重数学力学方法，仅仅讲授动力学公式的推导过程，学生就很难理解相关动力学原理。事实上，我国研究生教育的创新意识与创新能力不足，其中的一个重要原因就是在专业课教学环节中过分重视基础知识传授，轻视创新意识与创新能力的训练［3］。客观地说，研究生学习属于高级、复杂的学习，是艰苦的脑力劳动，因此只有依靠对学科和专业研究的内在兴趣，才能达到良好的学习目的；只有发展对专业知识学习的内在兴趣，才能保证学习行为的持久性。费尔巴哈说“新知识从怀疑中产生”，古代教育家张载说“学则须疑、学贵善疑”。为此，基于“创设问题和鼓励质疑”的原则，并吸收相关力学课程案例教学中的实践经验［4］，我们设计了不同层次的教学案例。具体的说，一是要求案例真实准确并能代表典型的多体动力学问题，比如，我们设计了两连杆的简单多体动力学算例（如图5所示），给出了“牛顿-欧拉法”和“拉格朗日方程”等多种建模原理与数值仿真结果，使得学生直观地理解各种动力学建模的等价性。二是针对学生未来的工作需求，突出教学案例的实用性。比如“卫星帆板展开过程”和“空间机器人操作过程”的多体动力学分析算例。三是强调案例的综合性原则，突出本课程的多学科融合特点，可使得学生重复认识到多体动力学的学科交叉和融合特点，有利于提高学生理论联系实际的水平。为此，我们将课题组研究的柔性绳网等新型空间结构当作教学案例，利用动画演示了阻尼弹簧模型和绝对节点坐标法等多种力学模型的仿真结果（如图6所示）。事实上，一个大学的导师水平和研究教学水平基本上决定了大学的研究学术能力。从宏观上来说，研究导师在学生整个硕士（博士）学习阶段，是学生最直接的指导者，也是学生活生生的榜样，导师须通过各种途径达到培养学生的目的。于是，我们试图通过课题组的研究工作阐述学科前沿问题，比如考虑织物编织方式的材料本构关系研究，特别是具有接触、碰撞与摩擦的多体系统动力学建模与相关力学机制研究；柔性织物工作过程中（如充气、折叠展开）的非光滑、非线性等相关分析方法和算法研究；考虑几何非线性、材料非线性以及含复合材料的柔性多体系统动力学建模与控制方法问题。在每个工程案例的具体教学过程中，不拘泥于教材和课堂教学内容，要求学生结合问题需求，大胆思考并创造新应用力学、高度数学、矩阵分析和数值方法等专业知识，以解决实际的问题。通过上述教学案例，学生深刻了解了多体系统动力学的工程背景，培养了探索和体验解决力学问题的研究乐趣。当然，也促使学生有效避免了因不知“学为何用”和“为何而学”思想带来的厌学情绪，提高了他们的分析、综合、归纳、发现问题与解决问题的能力。

图5 两连杆多体动力学模型

图6 绳网系统及多体动力学仿真

四、制订模拟科研过程的大作业

与本科相比，研究生的学习与研究紧密结合在一起，他们的学习过程应该近似于真实的研究实践活动，必须面对和解决实际问题。研究生作为国家建设和发展的主力军和中坚力量，创新能力无疑是核心和关键［4］。同时，研究生“与他人协作共事、有效地表达自己的见解和观点、批判性地接受他人的意见”也是十分重要的科研素质。因此培养学生团结、协同的群体合作精神显得十分必要。我们开展了如下三方面的工作：首先，结合具体的工程问题，共设计了两连杆动力学建模与仿真、空间漂浮机器人动力学建模、卫星抓捕动力学、绳网展开动力学和跳远运动等10个没有标准答案的大作业，并提出了类似于科研项目的研究报告要求。然后，依据学习能力和兴趣等合理划分研究小组，力争组内成员具有一定的差异性和互补性，组内成员有分工也有合作，保证小组的竞争的公平性。最后，要求学生按照“科研项目攻关和验收”模式完成大作业。在指导学生完成作业的过程中，一方面要求每个小组长扮演项目负责人的角色，积极思维和谋划，规划整个大作业的研究精度，另一方面也要求每个组员将自己的研究工作清晰明了的展示给别人，写出逻辑清晰的学术报告，设计出简洁漂亮的幻灯片以及提供吸引人的学术论文。尽管学生反映上述作业形式带来较大的工作量和难度，但是最终也承认自己在学术能力和合作研究方面获得了很大的锻炼。

我们充分利用综合大作业的答辩过程，培养学生的综合创新能力。文献［5］也指出：课程教学、论文指导的过程中，导师对学生的知识结构、创新能力、创新思维产生直接的影响。一个学校的导师学术水平、创新素质，基本上也是学生参照的对象，可为学生知识结构的完善、科学思维的形成，提供了直接的目标和有效途径。为此，我们在学生的大作业的答辩过程中邀请了相关领域的研究生导师为评委，试图从多个角度评价和指导学生的“研究报告”。在答辩过程中，多位老师的客观评价和建议，使得学生深刻了解了学科间的交叉融合，开阔了视野和拓宽了思路，并有可能从中捕捉到新的创新点。

当提交大作业后，学生也大体掌握了多体动力学的基本原理。于是，笔者利用我校在物－伞多体系统动力学、卫星多体系统动力学等领域的最新研究成果，做了如下四点：（1）从学术研究的角度系统讲述了航天领域中相关学科的发展趋势、研究热点和典型的工程应用问题。例如载人航天与探月工程中的降落伞回收系统、空间绳系卫星系统、空间绳网捕获系统、小行星布袋捕获系统、巨型索网天线等，已经构成了一类特殊的多体系统动力学研究领域，为学生的未来研究选题提供了广阔的前景。（2）结合国内外相关学者的研究工作或文献，再次阐述R∕W、牛顿-欧拉法和Kane法等建模方法的优缺点，展示不同建模原理的等效性。（3）适当补充介绍了目前国内外著名的研究机构和知名学者，为学生介绍将来的阅读文献范围。（4）比较全面的介绍了我校与相关科研院所的合作情况，为学生未来的就业或工作方向提供参考。

五、总结

在传统的多体系统动力学教学模式之中，老师通常以教材为中心，采用以讲授为主的教学方式。这种模式过于强调知识系统性和完整性，忽视学生的主观能动性，教学效果欠佳。本文从“激发学生的学习热情、设计启发性的教学案例、制订模拟科研过程的大作业”三个方面进行了教改探索。笔者针对多体动力学的抽象力学原理多、涉及学科多的教学困难，考虑到授课学生的专业基础和学习动机等客观因素，设计了不同层次和难度的教学案例，促使学生在学习过程中充分发挥主观能动性，激发学生的学习热情，培养学生的学习兴趣，激活学生自主探究、合作研究的科研创新能力。课后反馈表明，大部分研究生具有独立的多体动力学建模能力，甚至还有较深入的仿真分析能力。实践表明上述措施有效实现了教学目标。