“带余除法”教学的实践与反思

胡秀霞

[摘 要]在小学数学中，初等数论许多重要的定理都是用带余除法来证明的。带余除法不仅能培养学生多位数相除的运算能力，还能教给学生利用余数解决周期性重复问题的方法。

[关键词]带余除法；余数；本质

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）26-0038-02

现行各版数学教材，都把“带余除法”的教学规划为2课时，第1课时主攻意义渗透，第2课时才真正触及算法技能。什么是带余除法？为何规定余数比除数小？研讨这些问题，有利于教师准确把握相关概念，并在教学中适时渗透思想方法，从而有效开展相关教学。

一、正确定义，揭示带余除法

许多人望文生义，认为“带余除法”就是“无法整除有剩余的除法”，这样的理解并不全面，因为余数是有取值范围的。那么“带余除法”的代数定义是什么呢？如果整数 m>n>0，p>0，且 p× n

依照上述理论，若整数m=p×n+t（0

以上的每一种分法，都可能出现在现实情境中，因为当晚21：00后进入该商店的人数是不可控的。每种可能都有对应的图例和算式，都符合“商×除数+余数=被除数”的规律。而“能不能继续再分”则需要根据客观状况而定，无法作为判断余数应比除数小的结论。为了避免出现一式多解的乱象，确保结果的唯一性，故而规定余数必须小于除数。

二、步步为营，突出余数本质

[教学片段1]

问题1：有20枚鸡蛋，每5枚装1袋，可以装几袋？

生1：20÷5=4（袋）。

师：算式的意义是什么？

生1：20枚鸡蛋，每次拿出5枚作为一组，一共可以分4组。

问题 2：同样多的鸡蛋，如果每6枚装一袋，最多可以装几袋？

生2：最多可以装3袋，余下2枚。（如图 2）

师：能列式吗？

生2：[20÷6=3]（袋）。

生3：[20÷6=3]（袋）……2枚。

生4：[20÷6=3]（袋）余 2（枚）。

师：到底怎么表示才正确？

生5：第一种列式没将余下的2枚反映出来，是错误的。

师：后两种列式你更倾向于哪一种？

生5：第三种列式多一个“余”字非常必要，没这个字表意不完整。

师：在数学中，“余”字可用专用符号“……”表示。如20÷6=3（袋）……2（枚），简洁明了。

师：谁能把这个算式中的所有数字表示的意义重新说一遍。

圈、点、数的活动，正是借助直观图形帮助学生理解带余除法，余下的点数也揭示了余数的意义。理解带余除法的意义，既要能分别掌握算式中每个数字指代的意义，还要能从整体上理解算式的意义。

三、深入探究，发现余数规律

师：你能根据规律续写下一个算式吗？

生6：第一组：44÷5=8……4；第二组：49÷5=9……4

师：为什么？

生6：除数不变，总数加1后，余数相应增加1。

师：如果被除数继续加1，余数会怎样？

生7：余数会增加到5。

师：真的吗？

生8：错的！45除以5商数为9，刚好分完，余数消失。

师：写出这个算式并思考余数为何消失。

生9：余数达到5，可以再分一个除数出来。（课件演示二次分配过程）

师：照上面的规律继续列式，多列几组，看看余数有什么变化。

生10：余数在变化，1、2、3、4，1、2、3、4，循环往复，周而复始。但永远不会超过4。

通过以上探究发现，余数永远小于除数，带余除法的定义中明确有这一条。有的教师喜欢在毫无关联的随机出现的算式中，探究余数与除数的大小关系，导致学生思维受阻或者始终无法抓住问题核心。实在没办法，教师只好直接灌输“余数小于除数”的概念。对此学生也是丈二和尚摸不著头脑，不知为什么非要将余数和除数拿来对比。上述教学中，所有的式子呈现高度的相关性和清晰的变化规律： 除数相同，被除数渐次递增，商也相同，着重突出余数的周期变化。余数必定小于除数的规律也蕴含在这个变化中。

四、逆向验证，揭示余数属性

虽然通过同一类除法算式中的余数渐变规律能够确认余数比除数小的合理性和必然性，但是，这还不足以说明余数比除数小是带余除法的基本属性。要揭示它的基本属性，需要用到逆运算。

除法与乘法互为逆运算，带余除法的逆运算怎么书写呢？是乘加混合算式。理论上，一个乘加混合算式调换除数源和商数源的位置，就可以反推出两个带余除法的算式，如5[×]6+4=34，就可以改写成“34[÷]5=6……4”和“34[÷]6=5……4”两个带余除式，但这只限于加数（余数源）同时小于两个因数（除数源和商数源）。一旦脱离这个条件，有的乘加算式就只能改写成一个带余除式，这还是由于余数要小于除数造成的。 如把“ 5[×]7+6=41”反推成带余除式，只存在“41÷7=5……6”一种情况，而“41÷5=7……6”则不存在。通过逆运算，可把乘加混合运算与带余除式有机融通，使学生体会两者之间的交互证明关系。沟通二者的关联，不仅可以促进学生对带余除法的理解，而且为总结归纳“商×除数+余数=被除数”的推论打好基础。

通过以上探究发现，无论在哪种观点下，余数永远要小于除数。这一点实际上就是带余除法的基本属性。单纯在算式表征上进行不完全归纳，推定两者的关系在理论上是站不住脚的。若不明就里，学生只是被教师牵着鼻子走，为师命是从，那么这种强记必不长久和稳固，一旦遇到变式就会引起思维混乱，甚至动摇原有的正确认知。

一个数学规定的出台，背后一定有着深刻的道理。数学中的所有定则，都是逻辑发展的必然产物。如果孤立地看待某些规定，或许很难理解，但是联系知识前后的来龙去脉，问题就会迎刃而解。

（责编 黄春香）