基于关联犹豫模糊信息的TOPSIS多属性决策方法

刘宁元，汪新凡

（1.广东轻工职业技术学院 财贸学院，广州 510000；2.湖南工业大学 理学院，湖南 株洲 412007）

0 引言

自Zadeh[1]提出模糊集以来,学者们对客观世界中的研究由精确数拓展到了模糊数。在现实多属性决策过程中，作为决策的主体，由于知识背景及思维差异，在各属性下评价备选方案时，可能会出现犹豫不决的状态，认为几个评价值都有可能。为了解决这种问题,Torra[2]提出了犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets，HFS)的概念。它作为模糊集的一种拓展形式，隶属度可以用几个可能的值来表示，从而在多属性决策过程中很好地解决了决策者犹豫不决，以及决策者们意见难以达成一致的问题。目前，针对犹豫模糊信息的多属性决策问题的研究已经引起了广泛关注[3-10]。Xia等[3]提出了犹豫模糊集的运算和聚合算子；Xu等[4]提出了犹豫模糊集的距离、相似度和关联度的计算方法；zhang[5]提出了基于犹豫模糊几何算子的多属性决策方法;刘小弟等[6]提出了一种考虑可信度且对方案有偏好的犹豫模糊多属性决策方法；Farhadinia[7]给出了一系列犹豫模糊集的得分函数及其排序方法；Zhang等[8，9]提出了犹豫模糊信息区间规划模型的LINMAP决策方法以及犹豫模糊新型测量函数的TODIM决策方法；杨建辉等[10]提出了犹豫模糊元的灰色关联多属性决策方法等。

TOPSIS方法，是学者Hwang等[11]提出的一种逼近理想解的多属性决策方法。经典的TOPSIS方法一般用于将精确数作为属性值的多属性决策方法。自提出以后，许多学者对TOPSIS方法进行了研究。Chen[12]提出了基于最大贴近系数和最小偏差值两个目标的区间值TOPSIS决策方法;Zhang等[13]提出了基于最大化一致性的区间值直觉模糊TOPSIS决策方法;Xu等[14]提出了基于权重信息不完全的犹豫模糊TOPSIS多属性决策方法;Li等[15]提出了基于前景理论的梯形直觉模糊数群决策TOPSIS决策方法;赵巧姣等[16]提出了基于属性关联的直觉模糊TOPSIS决策方法。但对于属性关联的犹豫模信息TOPSIS决策方法研究报道很少见到。为此，本文针对属性关联的犹豫模糊信息多属性决策问题进行了探讨，利用经典TOPSIS方法思想，提出一种基于属性关联的犹豫模糊信息TOPSIS多属性决策方法。

1 预备知识

1.1 犹豫模糊数定义

定义 1[3]：设非空集合X={x1，x2，…，xm} ，则从X到[0，1]的一个子集的函数为犹豫模糊集，记作：

其中hA(x)表示x∈X属于犹豫模糊集合A的可能程度，其为区间[0，1]上几个不同数构成的集合。为了简便，称hA(x)为犹豫模糊数，记为h=hA(x)。犹豫模糊数h具体表示为h=H(γλ|λ=1，…，＃h)，其中犹豫模糊数h中元素个数记为＃h。

定义2[14]：设h1、h2、h为三个犹豫模糊数，则定义如下：

在决策过程中，决策者给出犹豫模糊数的元素个数不一定相等，且元素通常是无序的。文献[3]作如下规定:将h(x) 中元素按 增序 排列 ，即hτ（k）(x)≤hτ（k+1）(x) ，其中hτ（k）(x)表示h(x)内第k小的元素。设任意两个犹豫模糊数hA(x)和hB(x)中元素个数分别为＃hA和＃hB，并在元素个数较少的犹豫模糊数内添加元素，使其元素个数达到相等，即＃h=max{＃hA，＃hB}，添加的原则体现了决策者风险偏好。

定义3[14]：设犹豫模糊数h(x)=H(γλ|λ=1，2，…，＃h)，设h(x)中的元素最大值和最小值分别为γ+和γ—，在犹豫模糊数h(x)中按照式（2）添加元素：

(1)若θ=1，添加犹豫模糊数h(x)内最大值，说明决策者喜好风险，对预期有乐观估计；

(2)若θ=0，添加犹豫模糊数h(x)内最小值，说明决策者厌恶风险，对预期有悲观估计;

(3)若θ=1 2，添加犹豫模糊数h(x)内平均值，说明决策者风险中立。

定义4[4]：设犹豫模糊数和分别是h1、h2中第λ小的值，且＃h=＃h1=＃h2，则犹豫模糊数欧几里得(Euclidean)距离测度:

1.2 λ模糊测度

定义5[17]：设A为有限集，P(A)是A的幂集，gλ:P(A)→[0，1]满足性质:(1)gλ(ϕ)=0,gλ(A)=1;(2)若N⊆M⊆A，则gλ(N)≤gλ(M)≤gλ(A);(3)gλ(N∪M)=gλ(N)+gλ(M)+λgλ(N)gλ(M),其中λ∈(-1，∞),则称gλ为P(A)上的λ模糊测度。

由定义 5可知,当λ＞0 时,则gλ(M∪N)＞gλ(M)+gλ(N)，表示M与N间存在补充关系;当-1＜λ＜0时，则gλ(M∪N)＜gλ(M)+gλ(N)，表示M与N间存在冗余关系;当λ=0时，表示M与N间相互独立。

设X={x1，x2，…，xn}为有限集，对任意的A∈P(X),且gλ模糊测度满足[18]：

由P(X)=1，依据式（5）可以确定唯一参数λ：

2 属性关联TOPSIS方法

考虑犹豫模糊多属性决策问题,设方案集为X={x1，x2，…，xm}，属性集为A={a1，a2，…，an}，μ为定义在P(A)上的模糊测度。设D=[hij]m×n为犹豫模糊多属性决策矩阵,其中hij是一个犹豫模糊数,表示方案xi满足属性aj的程度，并且0≤hij≤1。属性关联的犹豫模糊TOPSIS决策方法的步骤如下：

步骤1：构造犹豫模糊决策矩阵D=[hij]m×n，对每一个犹豫模糊数hij，由式（2）对应不同的θ（不同风险态度）添加相对应的元素,使其元素的个数为＃h=max{＃hij}(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），其中＃hij表示犹豫模糊数的元素的个数。

步骤2：为消除不同物理量纲对决策结果的影响，对决策矩阵D=[hij]m×n需要进行处理,得到规范化决策矩阵R=[rij]m×n,即：

G1和G2分别表示效益型和成本型属性集。其中(hij)c表示hij的补。

定义6[14]：设R=[rij]m×n为犹豫模糊规范化决策矩阵,设x+为犹豫模糊理想解,x-为犹豫模糊负理想解，即：

步骤3：对属性集的模糊测度进行专家评定，根据式（4）、式（5）确定各属性子集的模糊测度。

步骤4：由式（7）、式（8）确定犹豫模糊规范化决策矩阵R=[rij]m×n的理想解x+和负理想解x-。

构建矩阵P=[pij]m×n和Q=[qij]m×n,其中:

根据式（9）至式（12）得，方案xi(i=1，2，…，m)到理想解和负理想解的距离为：

其中p(ij)和q(ij)分别表示 (pi1，pi2，…，pin)和 (qi1，qi2，…，qin)的置换,使得 0≤p(i1)≤p(i2)≤…≤p(in)和 0≤q(i1)≤q(i2)≤…≤q(in),A(j)={a(j)，…，a(n)},A(n+1)=∅ 。

步骤5：由式（11）至式（14）计算各方案到理想解d(xi，x+)和负理想解的距离d(xi，x-)。通常，距离d(xi，x+)越小，方案xi∈X越优；距离d(xi，x-)越大，方案xi∈X方案越优。

步骤6：利用式（15）计算各方案到理想解的相对贴近度CI(xi)，并依据其大小对方案进行排序。方案xi∈X与理想解的相对贴近度，定义为：

显然,0≤CI(xi)≤1(i=1，2，…，m)，相对贴近度CI(xi)越大，则方案xi∈X越优。

性质：如果在犹豫模糊信息多属性决策中，决策属性相互独立，则属性关联的TOPSIS方法等价于经典的TOPSIS方法。

根据犹豫模糊多属性决策属性关联的TOPSIS方法相对贴近度：

将μ(aj)=wj代入相对贴近度CI(xi),则：

上式与经典TOPSIS方法中的相对贴近度计算公式是一致的，即当犹豫模糊属性相互独立时，属性关联的TOPSIS方法等价于经典的TOPSIS方法。

3 算例与分析

3.1 算例

以文献[19]的算例为例，某公司制定未来几年的投资项目计划。假如有4个备选投资项目Xi(i=1,2,3,4)可供选择，决策专家利用平衡计分卡评价体系[20]确定了4项效益型属性Aj(j=1,2,3,4)，来评价各投资项目的前景,评价结果见表1所示。已知决策专家评定各属性的模糊测度分别为：gλ(A1)=gλ(A3)=0.15,gλ(A2)=gλ(A4)=0.2,试确定最优投资项目。

表1 犹豫模糊评估值

为了确定最优投资项目，下面利用本文方法对该算例进行求解，步骤如下：

步骤1：不失一般性，取θ=0，即添加犹豫模糊数内的最小值，构造犹豫模糊决策矩阵D=[hij]4×4，见表2。

表2 犹豫模糊决策矩阵D=[hij]4×4

步骤2：由于各属性均为效益型，犹豫模糊决策矩阵就是规范化矩阵R=D=[hij]4×4,见表2。

步骤3：已知专家给定的各属性模糊测度，利用式（4）、式（5），可得到λ=1.4以及所有属性子集的模糊测度，如表3所示。

表3 属性子集的模糊测度

步骤4：利用式（7）、式（8）确定犹豫模糊理想解X+与负理想解X-：

步骤5：计算各方案Xi(i=1，2，3，4)到理想解X+和负理想解X-的距离。

利用式（11）、式（12）得到决策矩阵D=[hij]4×4对应的矩阵P=[pij]4×4和Q=[qij]4×4分别为：

利用式（13）、式（14）计算方案X1到理想解和负理想解的距离：

同理，可计算方案X2，X3，X4到理想解和负理想解的距离，见表4所示。

表4 各方案到理想解和负理想解的距离以及相对贴近度

步骤6利用式（15）计算各方案到理想解的相对贴近度,见表4所示。并依据其大小,对方案Xi(i=1,2,3,4)进行排序：

则最优投资项目为X4,排序结果与文献[19]相同。说明本文方法有效的。

3.2 参数的敏感性分析

由于基于关联犹豫模糊信息的TOPSIS多属性决策方法是带有参数θ的决策方法，参数θ取值的不同，会引起犹豫模糊决策矩阵发生变化，从而导致决策结果发生改变。该参数敏感分析，主要通过参数值的改变，分析备选方案排序的变化情况，见表5所示。由表5可知，参数θ改变，方案的排序结果并没有发生改变。即参数θ（决策者风险偏好）的取值对方案排序结果不敏感。

表5 基于θ的不同取值下方案排序结果

4 结束语

本文针对属性值是犹豫模糊信息，且已知属性模糊测度的多属性决策问题进行了研究，提出了一种TOPSIS决策方法。通过利用模糊测度对犹豫模糊信息的属性权重进行建模，定义了方案到理想解与负理想解的距离，利用TOPSIS的思想，提出了属性关联的犹豫模糊信息TOPSIS决策方法。本文方法将属性值为犹豫模糊信息的TOPSIS方法推广到一般形式，为基于犹豫模糊信息的多属性决策问题提供了一种新的决策方法。