从实际应用问题出发培养数学学科核心素养

冯永文

摘 要：数学学科素养是数学课程目标的集中体现。数学核心素养包含着数学基本的思维品格和关键能力，在学生自主发展中具有不可替代的作用，更是高中数学课堂教学中不可忽视的关键所在。本文以苏教版高中数学必修5实习作业《解三角形在测量中的应用》的教学片段为例，探讨如何从实际应用问题出发培养学生的数学抽象、数学建模和直观想象素养。

关键词：数学；核心素养；实际应用

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）15-019-2

数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体[1]。数学核心素养包含着数学基本的思维品格和关键能力，在学生自主发展中具有不可替代的作用，更是高中数学课堂教学中不可忽视的关键所在。笔者以苏教版高中数学必修5实习作业《解三角形在测量中的应用》的教学片段为例，探讨如何利用实际应用问题培养学生数学学科素养，特别是在本节课中体现尤为突出的数学抽象、数学建模和直观想象这三个核心素养的培养。

一、教学片段呈现

问题1：你知道学校的旗杆有多高吗？如何测量呢？

学生思考，小组交流讨论。

学生1：可以选择一个测量点，与旗杆的顶点、底点构成直角三角形，在三角形里求旗杆的高度。

教师：能不能用具体的数学语言来描述和解决问题呢？比如画出数学图形，建立数学模型，写出具体的数学解答式。

学生1：如图，旗杆顶点A、底点B，与测量点C，构成直角三角形。可以利用皮尺测得BC之间的距离a，

利用测角器量得仰角∠ACB的大小α，在Rt△ABC中，tan∠C=ABBC，则AB=BC·tan∠C，即AB=a·tanα。

学生2：这个模型有问题，他没有考虑到人的身高对测量结果的影响。

教师：人的身高是否影响了旗杆高度的测量呢？

学生2：因为旗杆的高度与人的身高相差不是特别大，所以人的身高不能忽略不计。

教师：那通过怎么样的修改，才能建立更准确的数学模型呢？

学生2：如图，画出直观图，建立模型。AB表示旗杆的高度，CD表示人的身高，BD表示旗杆与人之间的距离。测得BD=a，CD=h，仰角∠ACE=α。在Rt△ACE中，AECE=tan∠ACE，则AE=CE·tan∠ACE，所以AB=AE+BE=a·tanα+h。

教师：在充分考虑了身高对测量结果的影响后，同学们通过对模型的修改和完善，能够较为准确的得到旗杆的高度。那么有没有其他的方式能得到旗杆的高度呢。

学生3：可以利用影子和相似三角形的知识得到旗杆的高度。如图，画出直观图，建立模型。测得人的身高AB、人的影长BE、旗杆的影长DF分别为h、a、b。由AE∥CD，可得CDDF=ABBE，所以有旗杆的高度CD=AB·DFBE即CD=bha。

教师：利用影长的方法计算旗杆的高度，较好的回避了法一中身高的影响，并且数学模型较为简答，也便于计算和理解。

设计意图：旗杆测量问题学生在初中已经有所接触，本题旨在通过熟悉的情景，较为容易的让学生从实际问题中抽象出数学模型，并能较为轻松的用数学语言转化实际问题，以便让学生感受数学抽象、直观想象、数学建模的过程，并通过对已有模型的探究、求解和验证，能进一步改进模型，最终能够较为准确的解决实际应用问题。

问题2：若在电视塔旁有一条河，人和电视塔分别在河的两侧，如何测量电视塔的高度呢？（人的身高忽略不计）

学生思考，小组交流讨论。

学生4：可以利用影长的方法得到旗杆的高度。

学生5：这个方法不可行。由于电视塔是在河的对岸，所以不一定能测出电视塔的影长。

教师：那有没有其他的办法呢？

学生6：如图，可以在河岸人的一侧选取两个测量点C、D，AB表示电视塔的高度。测得CD的长度a，仰角∠ACB、∠ADB的大小分别为α、β，可以利用解三角形的知识得到电视塔AB的高度。在Rt△ABC中，ABBC=tan∠ACB，则BC=ABtanα。同理BD=ABtanβ。则CD=BC-BD=ABtanα-ABtanβ=a，解得AB=a1tanα-1tanβ。

教师：问题1与问题2的区别在哪里？

学生6：在问题1中，旗杆的底部可以到达的，这样可以测得人到旗杆的距离和旗杆的影长。但在问题2中，电视塔的底部不能到达，这样就不一定能测出人到旗杆的距离和旗杆的影长。

教师：同学回答的非常好。问题1和问题2是两种不同类型的求高度问题，问题1是“底部可达型”，问题2是“底部不可达型”，同学们在处理这两类实际问题时，要注意建立适当的数学模型解决问题。

设计意图：“底部可达”问题与“底部不可达”问题是高度测量中的两类常见问题，通过问题1与问题2的对比研究，一是找到解决两种不同类型问题的方法，二是体会如何利用数学抽象的方法，得到研究的对象及具体数量关系。感受如何利用直观想象的方法，感知事物的形态与变化，理解和解决数学问题。体验如何用数学语言和数学方法表达问题和构建模型，从而寻求解决问题的办法。

二、从实际应用问题出发培养学生数学核心素养

1.通过实际应用问题培养学生数学抽象素养

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，包括从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。在“问题1”和“问题2”中，学生从测量旗杆高度和电视塔高度的实际背景出发，通过对空间形式的抽象，分别用图形语言和符号语言对实际问题予以表述，从而建立数学模型，得到数学研究对象，抽象出一般规律和结构，再利用数学方法解决实际问题。通过实际应用问题培养学生数学抽象素养要抓住语言转化及模型建立的过程，要能够将文字语言转化为图形语言和符号语言，以便用数学的思维和方法解决问题，从而锻炼学生的数学素养。例如在测量房屋前后两根电线杆之间的间距问题中，首先要从问题中抽象出空间形式，再分别用图形语言和符号语言表述问题，从而建立三角形的数学模型，并利用余弦定理解决问题。

2.通过实际应用问题培养学生数学建模素养

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。在“问题1”和“问题2”的旗杆和电视塔高度测量问题中，学生通过对实际问题进行数学抽象，再利用图像语言和符号语言等数学语言将实际问题转化为数学问题，建立数學模型，从而分析解决问题。特别在“问题1”中，“学生2”对“学生1”建立的三角形模型提出了质疑，他表示人的身高对旗杆高度的计算有一定影响，通过计算检验，从而对原有模型进行了改进和完善。通过实际应用问题培养学生数学建模素养主要要抓住发现问题、提出问题、语言转化、建立模型、检验模型，从而解决问题的过程。其中，语言转化和模型建立是重点难点。

3.通过实际应用问题培养学生直观想象素养

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图像，理解和解决数学问题的素养。直观想象是发现问题、探究问题和解决问题的重要手段。如在“问题2”电视塔高度的测量问题中，学生通过构建直观模型，画出图像，利用几何图形来描述问题，并借助几何直观来理解和解决问题，从而寻找到在直角三角形中利用解方程的思想求出电视塔高度的方法。通过实际应用问题培养学生直观想象素养，关键在于构建直观模型，利用几何图形和空间想象分析问题，从而探索解决问题。例如在测量河流两侧两电线杆直接之间距离问题中，首先要构建直观模型，画出几何图形，获得参数，建立数学模型，从而利用正弦定理解决问题。

利用实际应用问题特别是测量问题培养数学学科核心素养，关键在于利用数学语言、图形语言，对数量关系和空间形式进行抽象，构建直观图形，建立数学模型，从而培养学生的数学抽象、数学建模和直观想象素养。

[参考文献]

[1]中华人共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）.北京：人民教育出版社，2018.