例谈“解题表”在数学应用题教学中的应用

朱振华

摘 要：数学应用题解题是高考中的热点。但学生对普遍具有畏难的思想。本文探讨波利亚的“解题表”在数学解题教学中的应用，试图借助波利亚的解题思想来探求应用题的简单易行的解法，以提升学生解题的速度和准确度。

关键词：应用题；波利亚；解题表

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）15-078-2

高考数学应用题，是高考的热点题型之一，但由于种种原因，很多学生对应用题望而生畏，其中一个重要原因是缺乏正确的解题方法作为指导。著名数学教育家G·波利亚在《怎样解题》（1945年）著作中，曾把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，并对过程设计在一张“解题表”中，它归纳出了四个主要步骤：弄清问题；拟定计划；实施计划；回顾，然后用一系列问句表达出来，使得解题过程更加有启发性。笔者认为，运用“解题表”四个步骤来解应用题，简单易行。现举例说明：

题目：如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低。设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上。已知AB=20米，AD=103米，记∠BHE=θ。

（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；

（2）若sinθ+cosθ=3+12，求此时管道的长度L；

（3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？

并求出此时管道的长度。

解题过程：

第一步：弄清问题

弄清问题，实际上就是审题。数学应用题的审题主要抓住两个方面：背景分析和量与数的分析。

问题1：问题的背景是什么？

在物理、工程中，很多问题常运用三角函数的知识解决，主要涉及边角问题，有时用正、余弦定理解决实际问题是三角函数工具性的最重要的体现，在这类问题中有时也涉及到以角为变量的最值问题。通过审题，理解该题是怎样的一个问题，要多读几遍不清楚的地方，抓住问题中的关键信息。解决该问题首先将污水净化管道的长度表示为关于θ的函数，求出定义域。其次，研究当θ取何值时，铺设管道的成本最低，并求出此时管道的长度，是一个典型的最值问题。

问题2：问题中涉及到哪些量？

数学主要研究空间形式和数量关系。在数学应用题中研究数量关系的问题比较多。在理解此问题背景的基础上，分析问题中涉及到哪些量，哪些量是已知的，哪些量是未知的，哪些量可以求出，哪些量不能求出的？涉及到的量有：管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上。AB=20米，AD=103米，记∠BHE=θ。在分析题意时，要对背景信息进行深入剖析，不能浮于问题的表面。要善于从数学的思维角度去分析题意，抽象出题目所提供的信息中的各种量和数值。也就是要发现信息，记录信息，转译信息。

第二步：拟定计划

考虑怎样把实际问题，转化成数学问题。在上一步，我们分析出了问题中涉及到的量，现在进一步研究各个量之间的关系，进行数学化设计，建立三角函数模型。本题第一问我们不难得到Rt△FHE三边长EH，HF，FE，可以求出周长，将污水净化管道的长度表示为θ的函数，并利用BE，AF的长度限制条件求出定义域。至此，我们把这些自然语言转译成数学语言，得到函数关系，三角函数模型建立起来了。本题第二问是相对比较容易，是三角函数问题。而第三问是研究铺设管道的成本最小值，在建立以成本关于θ的三角函数，求解三角函数的最值问题。

第三步：实现计划

三角函数应用题大都可以引进以角为参数来解答用平面图形作为数学背景的应用题。利用三角函数的有关公式进行推理，解决最值问题，关键是通过图形分析，得出函数关系式。

（1）EH=10cosθ，FH=10sinθ，EF=10sinθcosθ

由于BE=10·tanθ≤103，AF=10tanθ≤103，

33≤tanθ≤3，θ∈[π6，π3]

所以L=10cosθ+10sinθ+10sinθ·cosθ，θ∈[π6，π3]

（2）sinθ+cosθ=3+12时，sinθcosθ=34，L=20（3+1）；

（3）L=10cosθ+10sinθ+10sinθ·cosθ=10（sinθ+cosθ+1sinθ·cosθ），设sinθ+cosθ=t，

则sinθ·cosθ=t2-12，由于θ∈[π6，π3]，

所以t=sinθ+cosθ=2sin（θ+π4）∈[3+12，2]，L=20t-1，在[3+12，2]内单调递减，于是当t=2时θ=π4。L的最小值20（2+1）米。

答：當θ=π4时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为20（2+1）米。

在实施计划过程时，要考虑它是怎样的数学问题，在自己的信息块中提取相关的信息，识别相关模式。逐渐把未知转化为已知。这就要求学生的“三基”必须扎实，对基本问题熟练掌握，并要深刻理解。另外，在对问题求解时，要检验每一步骤，对自己的思维进行元认知调控，保证每一步的准确性。

第四步：回顾

正面校验每一步推理是否是合理的、有效的。本题以角作为参变量，结合图形，通过寻求三角形中的边角关系，列出函数关系式，运用换元的思想从而解决了最值问题。解题回顾应包含这几个方面：①检验解题的每一步，包括对数学模型的求解和结论是否符合实际情况。比如对本问题，对于定义域θ∈[π6，π3]，有必要进行求解检验，在平时教学中注意对学生思维批判性的培养。②反思对信息是如何加工的，深化解题方法；③反思这个问题涉及到哪些知识点，这些知识点是否熟练掌握了，还有哪些欠缺？④解决这个问题用了什么数学思想方法？⑤这个问题还有没有其它的解法，哪一种更简洁，哪一种是通法？培养学生的发散思维和创造性。我们在解题时，应和学生的思维特点联系起来，寻求通法，少用特殊技巧。

解题教学是数学教学的重要环节，其效果直接影响学生的解题能力。学生在解题时，往往只注重分析和求解，不注意回顾反思。所以教师要引导学生进行回顾，明确回顾的意义，并逐渐养成习惯。因此，对于应用题的教学，提出如下建议：循序渐进，树立学生的自信心，消除畏惧心理；加强学生的数学应用意识，引导学生勤于观察生活中的数学问题，并深入探究；注重基础知识的教学和基本能力的培养；注重应用题的解题分析和求解策略的教学，加强学生的思维调控。

[参考文献]

[1]（美）G·波利亚著.涂泓，冯承天译.怎样解题：数学思维的新方法.上海科技教育出版社，2007（05）.

[2]池俊.例说波利亚“怎样解题表”的应用.福建中学数学，2014（09）.

[本文系南通市十三五规划课题（GH2016123）《G·波利亚（解题表）引导学生发展数学思维与创新能力的实践研究》研究成果]