直线问题中的“不可忽视”

（山东省济宁市微山县第一中学 山东济宁 272000）

一、忽视直线方程形式运用的限制条件

例1 直线L过点P（-2，1），且点A（-1，-2）到L的距离等于1，求直线L的方程。

错解：设直线L的斜率为k，则L的点斜式方程为y-1=k （x+2），即kx-y+（2k+1）=0，

∴所求直线方程为4x+3y+5=0.

剖析：由于直线的点斜式方程不包括平行与y轴的直线，所以应该检查过点P（-2，1）且与y轴平行的直线是否符合条件.

正解：10若直线L的斜率存在，设直线L的斜率为k，则L的点斜式方程为y-1=k（x+2），即kx- y+（2k+1）=0，∵点A（-1，-2）到直线L的距离等于1，

20若直线L的斜率不存在，则L的方程为x＝-2，点A（-1，-2）到直线x＝-2的距离为│－1－（－2）│＝1，符合L的条件.

∴所求直线方程为4x+3y+5=0或x+2=0.

点评：直线的点斜式方程与斜截式方程不包括平行于y轴的直线；直线的两点式方程不包括平行于坐标轴的直线；直线的截距式方程不包括过原点的直线和平行于坐标轴的直线.所以在用以上四种方程求直线方程时，一定要检查不被包括的直线是否符合相关条件，以免遗漏.实际上，在解题中，运用有关公式求斜率时，若只求得一解，应反思可能遗漏了斜率不存在的情形.

错解：设所求直线方程为x+y-1+λ（2x-y+4）=0，

即（2λ+1）x+（1-λ）y+4λ－1=0，

剖析：一般地，方程f1（x，y）+λf2（x，y）＝0表示过曲线

f1（x，y）＝0与曲线f2（x，y）＝0的交点的曲线系，但不包括曲线f2（x，y）＝0的所有曲线，上面解法恰好遗漏了直线2x-y+4＝0，故用曲线系方程求解时应分类讨论，以防忽视特殊情况.本题正确答案应为：2x-y+4＝0或2x+11y-20＝0.

二、忽视了截距与距离的区别

例3 求过点P（-5，-4）且与坐标轴所围成的三角形的面积为5的直线方程.

错解：

三、判断位置关系时忽视转化的等价性

例4 已知两直线L1：mx+8y+n=0 和L2：2x+my-1=0，试确定m、n 的值，使 L1∥L2.

错解：由m·m-8×2＝0，得m＝±4.

剖析：对于两直线L1：Ax1+B1y+C1=0 和L1：A1x+B1+C1=0，

A1B1-A2B1=0仅是L1∥L2的必要不充分条件，而L1∥L2的充要条件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0（B1C2-B2C1≠0）.事实上，由m ·m-8×2＝0，得m＝±4，又由8×（－1）+（－n）·m≠0，得n≠±2，

所以当m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，L1∥L2.

四、位置关系分析时忽视分类讨论

例5 过点P（1，3）作直线L，且点M（2，3），N（4，5）到直线L的距离相等，求直线L的方程.

错解：由题意知所求直线过点P且与直线MN平行，而kMN=1，故所求直线方程为x-y+2＝0.

剖析：解法中对直线L的位置分析时忽视了与直线MN相交的情形，即M，N分别位于直线L的两侧，此时，直线L过线段MN的中点，易求直线L的方程为x-2y+5＝0.故所求直线方程为x-y+2＝0或x-2y+5＝0.

五、忽视问题中的隐含条件

例6 求经过点P（-2，3），且倾斜角是直线3x+4y-5＝0倾斜角的一半的直线方程.

故所求直线方程为3x-y+9＝0或x+3y-7＝0.

总之，若能精细地设计思维过程，优先考虑限制条件，注意挖掘隐含条件，不仅能优化解题过程，还能提高正确率。学习中加强对错误的反思，能快速提升数学素养。