数形结合思想在解题中的应用研究

廖婧

摘 要：数学知识抽象性极高，因此将数形结合思想灵活运用，不仅便于解题，而且激发学生想象力以及创新能力，但采用数形结合思想解题时必须了解题目本质，把握基本的数学知识，将数学公式、概念灵活转换成图形，方能提高解题效率。本文着重讲述数形结合的概念以及实例，以期拓展数形结合思想的应用。

关键词：数形结合；数学

新课改背景下，数学知识点增多，且难度加大，解题方式多元化，而数形结合的灵活运用可以使抽象的数学问题简化，以直观的图形形式呈现给学生，以辅助的方式引领学生探索答案。此方式不仅提高学生的数学兴趣，而且有效加强思维创新以及想象能力，最关键的是将复杂的题目大幅简化，减轻学生压力，增加正确率。

一、数形结合的概念以及解决问题的对象

所谓数形结合，是指把握数学问题的本质，了解问题条件以及所需结果的内在联系，不仅理解其代数关系，还需掌握几何联系，将代数关系以空间形式呈现，并从中探索出解题思路，进而获得答案。总而言之，其本质在于将代数问题几何化，抽象问题具体化。

目前，数形结合思想已广泛运用于高中数学，例如：将函数问题转化为几何模型，从模型中提取参数范围并求解；代数问题是数形结合思想应用效果最显著的问题，根据图形分析问题实质，了解斜率、截距、极值等数据，甚至从结构位置关系判断代数关系，进而求解。

二、数形结合方法的意义

（一）激发学习兴趣。抽象的数学问题会导致部分学生感到沉闷，甚至产生畏难情绪，这是由于他们无法掌握数学问题的本质，没有解题思路。但图形属于直观形式，将复杂问题简单化，而且相比代数或者函数等数学内容，图形会带给学生熟悉感，进而激发学生的解题兴趣，所谓兴趣是学习的老师，因此，学生会更乐于迎接困难，钻研问题。

（二）提高数学分析能力。众所周知，绝大部分数学知识均为抽象的数字，而几何知识只占据小部分，但若将数形结合思想代入数学学习，不仅将数学知识形式转化，同时加强学生的空间想象力，寻求不同的解题方法，脑海中创建问题模型，提高数学分析能力。

（三）通过实践表明，高等院校的数学课程经常将复杂的知识内容拆分为细小单元，找到几何化思路，激发学生自主实践能力，从绘画图形中寻找问题本质，而教师在教学过程中融合数形结合思想可以凸显数学知识的魅力以及变化，并利用图形意义为数字理论提供适当解释以及补充，同时也展现高等数学所具备的严谨的逻辑思维。例如：高等数学知识中包含中值定理，大量的推导公式加深学生的理解难度，而结合图形说明中值定理的概念意义并引导学生提出问题，不仅加强学生的逻辑思维能力，同时降低教师的主体地位，提高学生的主体地位，进而让学生拥有克服困难的自信心。

三、结合实例来分析数形结合的实际运用问题

（一）概率问题中的数形结合思想解决方案。韦恩图可以将包含关系清晰反映，概率问题中经常会遇见集合问题，因此，如果我们能够善于利用韦恩图梳理问题的内在联系，进而获得事件概率，则相比传统的公式推理，复杂的计算流程，此数形结合手段更加清晰易懂，且便于学生解决难题，减少运算失误。

（二）数列极限问题

众所周知，《高等数学》教材中的数列极限知识点通常会描述定性知识，再进行定量描述，换言之，属于无穷问题。该知识点具有极高的抽象性，学生难以凭借空间想象理解无穷的概念，因而，该章节成为高等数学的关键难点。但随着数形结合思想的提出，教师可以通过几何描述直观呈现极限意义，进而有利于学生深入理解极限本质。当n趋近于无穷大时。数列Xn无限逼近常数a，换句话说，即便常数a的领域无限小，只要n超过某一极限值，那么Xn便会落在以u为中心的某个临界范围内，如图1所示。

从图中可以了解到极限本质上是动态逼近，我们可以抽取出某个静止状态讲述内在含义，例如：实现绘画出以a为区域中心，任意數值b为半径的区内（a-b，a+b），我们一定可以发现数列Xn中从某项开始的后续所有项均位于该区间内，我们可以将其转化为数学形式|Xn-a|

高等数学作为数学知识的高级课程，其内容更具抽象性，学生难以理解。如果将数形结合思想应用于数学解题，不仅简化解题流程，而且加强学生学习兴趣、提高逻辑思维能力以及减少失误率，本文以概率问题以及数列极限问题为例，详细分析数形结合思想在解题中的应用，以期推动数形结合思想的发展。

参考文献：

[1]尚影.数学教学中渗透数形结合思想的途径[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2018（2）：71-73+79.

[2]方倩珊.“数”“形”结合思想在高等数学中的应用[J].高等数学研究，2017，20（6）：54-57.