四心垂足三角形外接圆半径的一条不等式链

刘才华

(山东省泰安市宁阳第一中学 271400)

定义点P为△ABC内一点，过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB，垂足分别为点D,E,F，连接DE,EF,FD，则称△DEF为△ABC的垂足三角形.

在本文中，我们约定△ABC的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c，外接圆，内切圆的半径分别为R,r，面积为s，R△表示三角形外接圆的半径.

对于锐角三角形内一点对应的垂足三角形，文[1]中有如下：

结论△DEF为锐角△ABC内点P对应的垂足三角形，记△DEF的外接圆半径为R，当点P为△ABC的内心时，R最小.

进一步思考，对于锐角△ABC四心:内心，重心，垂心，外心，其对应的垂足三角形外接圆半径的大小关系如何？我们得到如下：

定理的证明需用到如下引理.

图1

证明如图1，由三角形重心性质得

则s△PQR=s△GPQ+s△GQR+s△GPR

在△GQR中，由三角形中线公式

定理的证明

(1)r=R△B1B2B3≤R△C1C2C3.

由三角形内心性质得R△B1B2B3=r.

由引理1得R△B1B2B3≤R△C1C2C3.

(2)R△C1C2C3≤R△D1D2D3.

由常见不等式：若a,b,c>0，则

并结合三角形中线公式

从而由引理1得

又由Neuberg不等式：∑a2≤9R2(见文[3])，

由三角形外心性质得△E1E2E3∽△ABC，

由(1)、(2)、(3)知定理成立.

注上述不等式链给出了锐角三角形中欧拉不等式R≥2r的一种隔离.