电场中类单摆运动和弹簧的一维振动类比

余晨华

类单摆运动是高中物理中常见的一种运动，由于多加了一些力，中学生经常会感到无从下手，对过程分析感到比较迷茫，对问题中的平衡位置不太清楚。为提高学生解决此类问题的能力，我们以一道例题展开分析，如下例题1。

例题1：如图1所示，在水平向右的匀强电场中，用一绝缘细线悬挂一个带电小球，其平衡位置为图中a点，现把小球拉到最低点b静止释放，则小球 从b到a的过程中电势能和重力势能的改变量ΔE应为（ ）A. ΔE>0 B. ΔE<0 C. ΔE=0 D. 无法确定

该题为“类单摆”运动的一种常见类型，即带电小球在匀强电场中的运动和单摆运动相似，但实际并不是单摆运动，它不符合单摆运动的条件，再加上电场环境，则解题难度增加。题上说a点为平衡位置，中学生很容易错认为小球到a点静止，其实平衡位置是物体所受指合外力为零，加速度为零的位置，而不是物体静止的位置，这时速度应该是最大的。这是中学生容易混淆的知识点，是学生对小球运动过程分析不透彻的体现。

从能量的角度来看，带点小球从b到a运动的过程中，动能、电势能、重力势能之和保持不变，从b到a运动的过程中，动能增加，所以在此过程中，电势能和重力势能之和减少，即ΔE<0。关于“从b到a运动的过程中，动能增加”可从受力和运动的角度分析，对小球进行受力分析，小球受到重力，细线的拉力，以及水平向右的电场力，而重力与电场力的合力F是一个恒力，大小和方向是不会改变的，与类重力场相似，可以从合力F的角度看过去，与O与平衡位置a点连线是平行的。拉力的方向与速度的方向互相垂直，因此在整个运动过程中拉力是不做功的，因此我们只需要看重力与电场力的合力F的做功情况，可以知道，小球在由b到达a的过程中，F与速度是锐角关系，故F做正功，小球的动能一直增大，而到达平衡位置a的时候，小球受力平衡，即合外力为0，此时F与速度垂直，小球速度达到最大，接下来小球由于惯性将继续做圆周运动，则速度方向与F成钝角，F做负功，小球动能随着运动逐渐减小至b，再接下来，小球返回，依次经过a和b，其中仍然在a点速度达到最大，小球就这样做着往复运动，如图2所示。

整个过程都是重力与电场力的合力F在做功，因此速度的变化具有对称性，且平衡位置也是固定不变的，因此，笔者联想到，这与弹簧振子的简谐振动在速度上的变化特征相似，因此完全可以将本题套在弹簧振子模型上来分析、求解。只是弹簧振子在一维直线空间运动，而本题的小球在二维平面运动，这是与一维空间的不同之处。下图3为一水平放置在桌面上的弹簧振子（桌面光滑）。

设O为弹簧振子的平衡位置，则O点相当于上题中的a点，弹簧振子在平衡位置速度最大，由平衡位置向两边运动时，速度均减小，由两边向平衡位置运动时速度均增大。因此，电场中的类单摆问题，其实与简谐振动中弹簧振子的运动特征相似，做题时，可以将小球的运动与弹簧振子的运动类比学习，他们对弹簧振子的运动较为熟悉，因此这样对他们来说，更容易理解一点。

静电场中的小球和弹簧振子中的小球均为研究对象，a点和O点均为平衡位置，小球到达平衡位置时速度均为最大值，电场力和重力的合力F的作用和弹簧弹力的作用类似，类比弹簧振子中小球的运动，可知电场中小球的运动过程。

这样分析，将二维平面带电小球的运动类比简化为一维直线上弹簧振子的运动，简化了问题情景的难度，将复雜的问题简单化，理解起来更为容易，提高学生对知识的系统掌握能力，锻炼学生的思维能力。