超市商品的最优库存量研究

陈咏鑫 李霞 宋词

[摘 要] 當代社会超市经营者在提高客户满意度的同时又追求利润最大，因此找到最优商品库存是非常重要的。运用报童模型的基础上引入损失厌恶参数，通过对超市商品的缺货与剩余造成的损失建立损失期望最小的最大库存函数，给出了缺货损失厌恶的超市最大库存量的计算公式和期望损失关系的数学模型和缺货概率。基于消费者对超市商品的需求研究了需求连续模型。通过对超市单项商品仓储管理问题的讨论，得到了利润最大化的同时尽量满足消费者需求水平的超市单项商品的最大库存量。

[关键词] 仓储管理；期望损失最小；最大库存函数；报童模型

[中图分类号] F253.4 [文献标识码] A [文章编号] 1009-6043（2018）08-0127-02

一、引言

合理的库存是超市门店运营的基本保障，保证了资金合理利用的路径之一。每期可以销售的商品量是上期末的剩余商品和本期期初的到库商品，超市每期单项商品的进货量和售出量决定着超市的利润和资金周转速度。高库存水平可以满足所有消费者的需求，但是也会增加单项商品的仓储费用；低库存水平可以减少仓存费的损失，但是也会因不能及时的满足消费者的需求导致超市无法充足获利，因此对缺货造成的损失非常敏感。超市出售的商品是生活用品，其中绝大部分是生活必需品，消费者的需求不能及时地被满足就会货寻别家，并且降低对此超市的满意度。超市如何确定每期最优库存量在确保一定的客户满意度的条件下获得最大利润是超市经营者急需解决的一个问题。

超市作为消费者购买商品的一个重要购买点，国内的舒亚东，等人缺货损失厌恶的报童问题进行了研究，旨在解决超市缺货损失的问题[1]；赵达，李军，马丹祥，李妍峰对在随机需求的情况下库存的安排情况进行了研究[2]；提出如何确定大型超市最佳进货量，最优化超市仓储管理，如李峰[3]；报童问题一直是仓储方面的重要理论，国内学者持续不断优化和拓宽其理论，如文平，庞庆华，刘家国，吴冲[4]。

二、模型描述

舒亚东对报童模型的实际应用中，研究了当期期初订购并到货的产品并进行当期的销售，如有剩余则以较低价格回售，由于在该文中只考虑了单期商品销售和当期商品剩余低价回售的情况，无法模拟出如今超市大部分商品的销售情况，因此主要研究超市在保质期内可以进行仓储并销售的单项商品的最大库存量，超市提前制定订货计划并订购货物，假设提前订购的货物在期初到达超市仓库并进行销售。

（一）需求连续模型

Shalev（2000）讨论了博弈论的纳什均衡问题，给出了如下形式的效用函数

其中λ是损失厌恶程度，r是参数点，但是以上的效用函数主要是研究最大的收益期望值，因为超市对损失较敏感，所以主要研究最小损失条件下的最优库存，即基于期望损失值最小，超市最优库存对缺货较敏感的角度来讨论的。仿照上面的函数，我们定义超市损失效用函数：

设超市每天售出单项商品的份数r为一个随机变量，其约束条件是：

消费者在购买超市单项商品时，其决策是受到多种因素的影响，在大型消费群体中个体因素是非常微小的，而且每期单项商品销售量较大，可以忽略个体因素的影响。因此假设r为一个连续型随机变量，概率密度函数为f（x）。设超市销售商品时如果每期存货较多，有销售剩余的商品，每剩余一份就损失仓储费h元；超市单项商品每售出一份获利k元，如果超市因为缺货不能及时满足消费者的需求，就损失k元。若超市每期单项商品的库存量为N，则根据以上损失函数能得到超市的损失函数为：

由定义，超市如果想增大获利的机会，就只有在r=N时，但是市场对商品的需求总是随机的，就无法估计每期单项商品的销售量，因此只能通过经验和每期商品的需求分布具体情况去预测。根据r=N制定最大库存政策：在一开始时若发现库存点低于最大库存水平则订购足够的货物使库存点上升到最大库存水平，因此在最大库存水平订购模型中，每一期的订购量恰好等于前一期的需求。提前期Y是超市补充订购的货物要在一段固定的时间之后才能收到。假设超市在持续销售单项商品的条件下并遵循最大库存政策，则超市每期期末库存Q：Q=N-（Y+1）期的需求。

每期提前订货量E满足下列条件：

由超市的损失函数，可以销售的商品量是上期末的剩余商品和本期期初的到库商品，单项商品库存过多，会使超市的仓库库存成本增加甚至亏损，如果库存太少则不能及时的满足消费者的需求，导致商家无法赚取这部分利润导致损失。可得

超市想要使损失最小，则超市选择的单项商品最大库存量就是使S（N）取最小值是对应的N，其中f（x）是超市存货满足消费者需求的概率，将S（N）对N求导得：

可以验证，⑤方程的解存在，它的解就是单项商品缺货损失厌恶情况下的最大库存水平。当λ=1时，⑤式变为

（二）比较静态分析

首先分析λ的变化对N的影响，对⑤式两边同时对λ求导得：

从上式可看出，当k为0时，库存量N一定为0。虽然在现实生活中也有做亏本生意的例子，但决策者是利用这部分损失来换取总的获利，尽量降低损失，即最终达到最贴合实际情况来获得利润。

最后，分析h的变化对库存量的影响。同理对（5）式两端对h求导可得：

三、结论

建立缺货损失函数，在缺货损失厌恶敏感和尽量满足消费者需求的条件下，得到了超市单项商品最大库存水平。通过消费者对商品需求的连续性建立连续模型，并进行比较静态分析得出了太高的损失厌恶虽然会使超市因缺货造成的损失减小，但商品的仓储费用增加，导致总损失增加。单项商品的利润越大，其存货满足率越高。单项商品的仓存费越大，则其最大库存水平就越小。

超市在持续经营的过程中，可以得到具体单项商品的利润和仓储费用，带入缺货损失最终函数中即可得存货满足率，查表可得中间值，同时通过数据整理和分析，可以得到在一定时期消费者对单项商品的需求均值和标准差，即可得到单项商品的最大库存水平。随着时间的推移，对消费者需求预测更加贴近真实的消费者需求，从而更容易制定出能获得最大利润的库存水平。

[参考文献]

[1]舒亚东.缺货损失厌恶的报童问题[J].中国商贸，2011（23）：253-254.

[2]文平，庞庆华.基于预期的报童问题研究[J].中国管理科学，2018，26（3）：109-116.

[3]李锋.大型超市应如何确定最佳进货量[J].商场现代化，2008（31）：85-86.

[4]赵达，李军，马丹祥，李妍峰.随机需求库存-路径问题最优策略及其算法[J].管理科学学报，2014，17（5）：14-24.

[5]刘家国，吴冲.基于报童模型的两级供应链回购契约协调研究[J].中国管理科学，2010，18（4）：73-78.

[6]Robert B. Durand； Paul Lloyd； Hong Wee Tee： Myopic loss aversion and the equity premium puzzle reconsidered；Finance Research Letters；2004

[责任编辑：纪晨光]