半正弦脉冲荷载作用下沥青路面动态响应分析

张红亮

（湖南大学设计研究院有限公司， 湖南 长沙 410017）

关键字：半正弦荷载；加载周期；振幅；车辙；低温疲劳

0 前言

沥青路面以其优良的行车性能而获得青睐，成为各国公路建设路面结构形式的首选。随着道路交通近年表现出的交通量大、汽车载重增加、车速加快的特点，对路面结构的可靠性与耐久性提出了更高的要求。然而，公路运输高速重载化需求的日益加剧与路面使用寿命严重不足两者间的矛盾，成为制约高速公路发展的难题[1]。其中的一个重要原因在于我国目前采用的静力学路面设计体系，难以准确评价路面的实际受力状态，自然无法合理解释并有效抑制路面的早期破坏。因此，研究沥青路面的动力响应规律，对探究路面损坏机理和提高路面使用寿命具有重要意义。

研究交通荷载作用下路面结构的动力学行为，揭示路面结构的破坏机理，推动路面结构设计从静态向动态转化已成为目前道路界研究的热点问题之一。

关于交通荷载的描述，很多文献将其视为作用位置不变大小变化的荷载，而半正弦荷载可以较好的模拟实际交通荷载，很多学者在沥青路面动力响应的有限元计算中，经常使用脉冲荷载来代替实际交通荷载对模型进行加载。但目前还还很少有学者用解析的方法研究半正弦荷载作用下沥青路面的动力响应。

有鉴于此，本文拟在分析现有国内外研究成果的基础上，根据半刚性基层沥青路面的特性，以粘弹性层状体系理论和土的本构方程为基础，建立路面动力响应控制方程，将半正弦荷载转换成Fourier计算表达式后带入各个控制方程中将具有偏微分方程形式的控制方程转化为常微分方程，基于相关假设和位移、应力连续性的边界条件求解控制方程并得到半正弦荷载作用下沥青路面应力、应变和位移的解析解。并通过与数值模拟分析软件的计算结果进行对比，验证本文理论推导的准确性。

1 沥青路面在不同加载条件下的动态响应求解

1.1 动力荷载加载形式

目前采用的路面动力响应分析的荷载加载方式主要有半正弦脉冲。通过控制半正弦脉冲脉冲荷载的振幅和周期，能模拟不同的实际加载形式。半正弦脉冲荷载函数的表达式如下：

1.2 动力控制方程建立

本文路基路面系统为二维八层体系，包括上面层、中面层、下面层、上基层、中基层、下基层、上路基和下路基。面层、基层和路基被视为干燥的弹性介质，忽略水和沥青混合料固相颗粒的压缩性，路基在某一深处固定于刚性路床上或着在某一深度的位移可被视为零。所有路面系统的结构层横向宽度假设为无限大，建立路面动力响应控制方程[2]。

本文研究的对象是沥青混凝土路面，在一般的情况下，都将其作为连续介质来进行研究的。研究对象的材料性质有所区别，譬如说沥青混凝土的孔隙率及材料的整体强度都大于土体，所以本文在分析问题时，根据实际情况建立适合分析沥青混凝土路面车辙的模型。为了建立数学模型，还需做如下假设：

(1)路面各结构层为均质的各向同性的弹性介质材料；

(2)沥青混凝土的变形是微小的；

(3)沥青混凝土是不可压缩的，即只有变形，而无体积变化；

(4)各个结构层层间位移和应力连续。

对于路面、基层和路基，其动态控制方程为(i=1～8分别对应上面层、中面层、下面层、上基层、中基层、下基层、上路基和下路基)：

车辆的实际行驶时对路面施加的荷载不但有大小变化而且作用位置也在不断的变化。路面结构所承受的动荷载包含两层含义：一是力作用的位置改变；二是力的大小的改变。通常将路面结构所承受的动荷载分为以下三种：移动荷载、冲击荷载和随机荷载。随机荷载是路面承受荷载的最真实情况，但其模拟预测较为困难；冲击荷载与移动荷载都可以反映荷载的移动移动性质，移动荷载大小不发生改变，冲击荷载的量值随时间的改变而改变。当路面比较平整时，车辆震动较小，可以用移动荷载来描述车辆对路面的作用。关于交通荷载的描述，很多文献将其视为作用位置不变大小变化的荷载，其变化规律一般表示为半正弦函数。其在二维情况下，可以将作用的荷载采用Fourier级数展开。某一点的动力响应在荷载通过该点之后会逐渐衰减直到下一次的荷载作用。假设一次荷载作用的时间为t0(t0=2l/c)，从第一次荷载作用到下一次荷载作用的时间为t1(t1=2L/c)，荷载的幅值为F，荷载宽度为2l，移动速度为c，2L是两个交通荷载之间的距离。

1.3 动态控制方程通解

1.3.1 控制方程线性化

线性系统中的任何函数ψ(z,t)都可以表示为一组线性的谐函数的级数和，其表示形式如下：

式中Φm(z)=Φm仅为独立变量z的函数，为m次谐函数，指数函数部分仅为t的函数。

1.3.2 边界条件

如果要求解控制方程，必须得到积分常数Aijm(i=1～8,j=1～4)。

由于轮胎与路面之间的摩擦为滚动摩擦，摩擦力大小的量级相对于交通荷载来讲是可以忽略的。因此，为了便于求解控制方程，轮胎与面层接触面的剪切应力可以设为零。因此，得到如下的边界条件作为求解条件：

在上面层顶面(z=0)：τ1xz= kF，(k为滚动摩擦系数)，σ1z=F；

在上面层底部(z=H1)的位移边界条件：ζ1x=δ1和ξ1z=δ2；

中面层、下面层、上基层、中基层、下基层、上路基的边界条件为(i=2～7)：

在下路基模型中，列出如下边界条件：

下路基和上路基的界面(z=H7)的位移边界条件：ξx=δ71，ξz=δ72；

下路基和上路基的界面(z=H7)的应力边界条件：τxz=χH7，σz(H4)=σH7；

下路基底部(z=H8)的位移边界条件：ζx=0，ζz=0。

根据以上边界条件方程组，通过数值方法可以得到位移(δix和δiy)、正应力(σHi)和剪切应力(χHi)。然后代入到路面系统在动载作用下的动力相应的控制方程的通解表达式中，则正弦荷载作用下路面系统的竖向正应力和竖向正应变的表达式为：

2 沥青路面车辙与疲劳寿命计算

移动荷载更能准确地表示实际的交通荷载作用方式，半正弦脉冲荷载只是对移动交通荷载作用方式的简化。为了建立半正弦脉冲荷载与移动交通荷载之间的等效和转换关系，本文将以路面车辙和疲劳寿命作为等效计算的控制指标，以确定正弦脉冲不同加载条件下的作用周期（时间）和振幅（荷载峰值）。

2.1 沥青路面的车辙计算

沥青混合料是一种温度敏感性材料，它的路用性能与其温度敏感性密切相关。车辙通常都容易在高温下产生，并随着温度而变化。沥青混合料作为一种复合材料，是典型的弹、粘、塑性综合体，在低温小变形范围内接近线弹性体，在高温大变形活动范围内表现为粘塑性体，而在通常温度的过渡范围内则为一般粘弹性体。在行车荷载作用下，沥青混合料的特性十分复杂，实际工作范围内主要表现为非弹性体，变形在卸载后具有不可恢复性。参考AASHTO中路面设计指南，可以得到

RD—沥青混凝土面层的车辙深度，

N—沥青面层数，

(εp)i—沥青面层第i层中部的竖直塑性应变，

□hi—沥青面层第i层的厚度。

2.2 沥青路面疲劳寿命

高强拉应变通常是由重载或者面层结构的强度不够引起的，利用AASHTO路面设计指南来定义疲劳寿命，可以得到

Nf—轴载作用次数，

E—弹性模量，

εt—沥青路面表面的拉应变，

C—与沥青混合料体积有关的系数，

k—与沥青混合料厚度有关的系数。

3 模型验证

3.1 模型验证

本文通过理论计算实例与数值模拟结果进行比较，以验证本文理论推导的正确性。通过对比半正弦脉冲荷载和移动交通荷载作用下的车辙，得到半正弦脉冲荷载的周期和振幅。在新的振幅和周期作用下，建立相互转换关系，使半正弦脉冲荷载能较好地模拟移动交通荷载作用下沥青路面的动力响应。用于分析的沥青路面结构是六层体系，从上之下分别为 4cm改性沥青 SMA-13、6cm改性沥青Sup-20、8cm重交沥青Sup-25、40cm水泥稳定碎石、20cm石灰土和土基。

沥青混合料的参数如下表(1、2、3)[3]所示。

表1 沥青混合料弹性参数

50 500 0.40 60 390 0.45

表2 材料的弹性参数

表3 沥青混合料蠕变参数

车速c=20m/s，轮压F=700000Pa，滚动摩擦系数k=0.02，温度为40℃，分别用本文的理论解析解方法和有限元软件ABAQUS对沥青路面结构的应变和车辙进行计算，计算结果如图1所示。

图1 不同荷载作用下沥青路面车辙深度的对比

图2 移动交通荷载作用下沥青路面的车辙和半正弦脉冲荷载作用下沥青路面的车辙的关系

从图1可以看出，荷载作用下的沥青路面车辙的理论计算值与有限元计算结果较为吻合，这证明了正弦荷载形式作用下沥青路面动力响应的解析解理论推导的正确性。从图1和图2可以看出，移动交通荷载作用下的沥青路面车辙计算值是半正弦荷载作用下沥青路面车辙计算值的1.06倍。

3.2 沥青路面疲劳寿命控制指标

沥青路面的疲劳寿命Nf和拉应变εt的关系是指数函数关系，即沥青路面结构一定时，沥青路面的疲劳寿命只与拉应变εt（即施加在沥青路面的荷载）有关，即

a为常数。

温度t=20℃，荷载F=0.7MPa，v=20m/s，分别利用半正弦荷载和移动荷载计算沥青路面的拉应变，移动交通荷载下的拉应变为8.28e-5，半正弦荷载下的拉应变为7.53e-5。

正弦脉冲荷载作用下的沥青路面表面的拉应变的值是一样的，这说明沥青路面的拉应变只与荷载的大小有关，而与荷载的形式无关。对比发现移动荷载作用下沥青路面表面的拉应变是半正弦脉冲荷载作用下的沥青路面表面的拉应变的1.1倍。

3.3 考虑车辙和疲劳寿命的荷载等效关系

从前述分析可知，以车辙大小作为控制指标且保持两种荷载加载时间不变，移动交通荷载大小为正弦荷载大小的1.06倍；保持四种荷载加载大小不变，移动交通荷载加载时间为正弦荷载、阶跃荷载和三角形荷载大小的1.07倍。以疲劳寿命作为控制指标，两种荷载与加载时间无关，仅与荷载大小有关。相同峰值的荷载作用下，半正弦荷载和移动交通荷载作用下路面层底拉应力相等，但移动交通荷载作用下的沥青路面层底拉应力为该半正弦脉冲荷载作用下的 1.1倍。因此，为了同时保证两种荷载作用下的车辙和疲劳寿命相等，在进行加载时，对荷载的峰值和加载时间进行对比可以得到如表4所示的关系。

表4 荷载的周期与振幅的关系

4 结论

本文推导了半正弦脉冲荷载作用下沥青路面动力响应的显式解析解，并通过与有限元软件ABAQUS计算结果进行对比，证明了本文推导的显式解析解的合理性，从理论上为沥青路面车辙的处理提供技术支持，并得到如下结论：

(1)保持正弦脉冲荷载的周期不变，通过改变半正弦脉冲荷载的振幅(半正弦荷载振幅增大1.06倍)，能很好的模拟移动交通荷载，消除半正弦脉冲荷载模拟移动交通荷载的误差。

(2)保持正弦脉冲荷载的振幅不变，通过改变半正弦脉冲荷载的周期(半正弦荷载周期增大1.07倍)，能很好的模拟移动交通荷载，消除半正弦脉冲荷载模拟移动交通荷载的误差。

(3)不论是改变荷载的振幅，还是改变荷载的周期，都能很好的模拟移动交通荷载，这很好的证明了“时间荷载等效”原则。