以“形”助“数”，以“数”解“形”

摘 要：“数形结合”能够帮助学生将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一。文章从以“形”助“数”和以“数”解“形”两个方面进行阐述。

关键词：以“形”助“数”；以“数”解“形”；数形结合

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2018-06-28

作者简介：贺建良（1965—），女，湖南省宁乡市玉潭镇中心学校教师，高级教师。

“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的。“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以“形”助“数”和以“数”解“形”两个方面，是小学数学教学中一种基本的数学方法。

一、以“形”助“数”

“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。我在教行程问题时，就经常运用图形的办法清晰地展现问题。

例如，一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽车上坡速度是每小时40千米，在平地的速度是每小时50千米，而下坡的速度则是每小时60千米，汽车从甲地到乙地，上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？

在这道题中，既存在变量，又存在不变量。变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的下坡路变成了上坡路。而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的，在平地所花的时间也是不变的。那么在解决问题的时候，就可以直观地画出上坡、平地、下坡线段图展现出来。先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（60×4）÷40=6（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（40×6）÷60=4（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是6（上坡）+2（平地）+4（下坡）=12（小时）。在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地展现出来，学生比较易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。

数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索發现，而“形”的操作有助于发现规律。如教学“3的倍数的特征”时可作如下设计：让学生用12根小棒摆出两位数或三位数，判断是否是3的倍数；用11根或者8根呢？操作中学生发现，组成的两位数或三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。

数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性，理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。

解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间的关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、解决实际问题（如“最佳方案”“截断”等）时，恰当选用列表、线段图、示意图、集合图等，是寻找解题途径最有效的手段之一。

二、以“数”解“形”

“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、烦琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使学生更准确地把握“形”。

对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。如“线段”的教学，由于在生活中有原型，画出来的是带端点的线，而辅之以数学语言“直”“端点”“不能延长”等，就能较好地建立相应的表象。

几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。如对长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使学生从在更深层面上认识长方形。

对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：“画出周长是14厘米的长方形”“画出面积是12平方厘米的长方形”，由于凭空作图困难，而通过具体计算，先计算出长方形的长和宽各是多少厘米，结论就不辩自明了。

参考文献：

[1]刘 伟.小学数学“数形结合”思想方 法在教材中的渗透[J].新课程学习 （基础教育），2010（8）：93-94.

[2]张雅芬.以“形”助“数”促发展——例 谈数形结合思想在小学数学教学中 的应用[J].课程教育研究，2015（32）： 189-190.