中学数学概念的教学研究

2018-10-30 09:36雷小玲
考试周刊 2018年87期
关键词:数学概念中学数学教学研究

摘 要: 数学概念是数学中最基本的内容,是学生认识数学这一门学科的源头,数学定理和数学公式等都是以此为基础推导出来的,同时,数学概念也是增强学生逻辑思维能力的必要环节。因此,数学概念教学对于提升教学水平,完成教学目标,有十分核心的作用。

关键词: 中学数学;数学概念;教学研究

一、 数学概念与数学概念的教学

(一) 数学概念的涵义

数学概念构成了数学的基本框架,也是关于数学内容的初步了解。数学概念指的是事物在数量和结构等方面的关系、特点,以大量实践为基础,从数学的各个研究角度,归纳总结出数学概念的本质特点。按照其笼统程度将数学概念划分成描述性概念和定义性概念。其中,描述性概念是说能够通过观察而直接得出来的概念。

(二) 数学概念的特性

1. 抽象性与具体性:数学概念的抽象性表现为:第一,当数学概念体现数学内容的本质属性时,它具有抽象性。例如:我们实际当中并不存在抽象的椭圆,只是能看见一些具体的,如鸡蛋、雨花石等。第二,某些数学概念是用特定的符号来规定的,例如:未知数借助符号x表达。第三,某些数学概念是发散思维的结晶,例如:n维线性空间、欧式空间等。

2. 确定性与灵活性:数学概念的确定性指的是有其相对稳定性的一面,这是相对于一个时期,并不是指概念的整个发展阶段,因此,我们既要看到数学概念的确定性,也要看到它的灵活性。数学概念的灵活性是说随着我们对概念的认识加深,数学概念会随之发生变化。例如:随着初中阶段的实数到高中阶段的复数的演化,一元二次方程根的概念也随之发生了变化。只有更准确的理解概念,才能增强学生的数学水平。

3. 符号化与简明化:在概述数学概念时,因为文字有时不能很直白的表达概念,并且在描述过程中过于复杂,故用符号进行表示会简单明了。比如交集符号“∩”、连加符号“∑”、垂直符号“⊥”等等。这些符号既能反映出概念的性质,又能使其表达更加清晰、精确、简明。

(三) 数学概念教学的意义

1. 数学概念是把握基本知识的关键。例如:要想能靈活的利用椭圆的概念来做题,我们先要知道椭圆的定义是什么。即“|F1+F2|=2a的动点p的轨迹”。如果对这些知识没有一个清晰的认识,就不能准确理解“椭圆”这一概念,也就不能很好的利用性质来处理问题。

2. 数学概念是技能训练的必要条件。例如:利用方程解答实际题目广泛应用于在整个数学中,但很多学生不太会用这种方法来解题。要想解决这一问题,在教学中要提高学生思考问题和理解问题的水平,使学生明确认识“方程”这一概念。

(四) 中学数学概念教学的现状

教师常常在数学概念教学活动中直接给出定义,指出需要注意的地方,然后列举大量的例子让学生反复练习,通过多做题使学生加深了对概念的认识。容易导致学生生硬的接受概念,而对概念并没有什么深入的理解,只是照猫画虎的进行练习。由于学生对概念的关键特征没有很好地理解,当遇到的问题不能用已学知识解决时,就会计无所出。

二、 中学数学概念课教学的案例研究

(一) “函数单调性”的概念教学

1. 教学内容分析:函数的单调性是函数的主要内容,起着承先启后的作用。一方面,是高中所学内容的深入,让学生就函数而言有深刻理解。另一方面,函数单调性为后续内容提供初步认识。

2. 课堂教学设计

(1)创设情境:教师分别作出y=x+2,y=-x+2,f(x)=x2相应的图,让学生看当x变化时,f随之是怎样变动的?

生:图1从左向右逐渐上升,y随x的增大而增大,图2从左向右逐渐下降,y随x的增大而减小。师:回答得很正确。图像变化时,也相应变化函数,我们分为增函数和减函数两种。问:那么图3属于哪种函数呢?

(2)初步探究,形成概念

生:是增函数。生:是减函数。生:既增又减。生:分情况讨论。师:好,那么,什么情况下增,什么情况下减呢?

生:函数在区间(-∞,0)上增,在区间(0,+∞)上减。师:不错。这个函数在对应区间并不是一直单调,而是在相应区间的某个部分上单调。这就说明函数的单调性具有局部性。你们可不可以按照自己的认识,简单概括增函数和减函数的定义?

生:如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数f(x)在该区间为增函数,如果函数f(x)在定义域上的某个部分随x的变大,随之变小,就说函数f(x)在该区间为减函数。师:这种直接通过图像而得到函数的单调性,属于感性认识。对单调性理性的认识是:f(x)如果满足在区域M上,随x增大y也增大,就称函数 f(x)在区域M上为增函数,区域M就叫做f(x)的增区间;反之,如果随x变大y变小,那么就称f(x)在区域M上是减函数,区域M也相应的称为f(x)的减区间。

(3)深刻理解概念:怎样利用等式f(x)=x2得出函数在区间[0,+∞)上是增函数?

生:在给定区间内任取两个数,例如1和2,因为12<22,所以f(x)=x2在区间[0,+∞)上为增函数。生:用大量数据验证同样成立,所以f(x)=x2在区间[0,+∞)上为增函数。师:当x=-1,1,2,3,4,5…,f(x)=1,1,4,9,16,25…也是随x增大而增大的,能否说f(x)=x2在区间(-1,+∞)是增函数?

生:摇头。师:有无数个数满足,并不能说明所有数都满足。我们无法逐个比较(-1,+∞)的数,所以只能用合适的字母去代替区间内所有的数。

(四) 给出严格定义:“函数y=f(x)在区间A内单调,而且MA,如果差值Δx=x2-x1>0,同时当Δy=f(x2)-f(x1)>0时,这时称函数y=f(x)在区域M上是增函数;当Δy=f(x2)-f(x1)<0时,同样我们称函数y=f(x)在区域M上是减函数。”

3. 课后反思

函数的单调性是很重要的内容,在教学过程中,教师提供了一个良好的讨论平台,并且提出了一系列问题,让学生自主学习、归纳总结数学概念,这样更利于他们理解函数单调性这一内容。

参考文献:

[1]钱小慧.中学数学概念教学研究[D].云南:云南师范大学,2006.

[2]许敏.中学数学概念新授课教学研究[D].上海:上海师范大学,2010.

作者简介:

雷小玲,天津市,天津师范大学数学科学学院。

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