基于椭球体失稳坍落理论的隧道掌子面失稳计算研究

杜 俊，梅志荣，陈永照

(1.中国铁道科学研究院，北京 100081；2.中铁西南科学研究院有限公司，四川 成都 611731；3.厦门市政建设开发公司，福建 厦门 361015)

0 引言

由于强度低、变形大等特征，软弱围岩隧道在修建时，往往因开挖扰动而失稳，发生坍塌事故。例如：世界上第1座知名的大变形隧道——奥地利陶恩公路隧道，全长6 400 m，埋深600～1 000 m，在千枚岩和绿泥石地段发生大变形，产生了最大1 200 mm的位移，最大位移速度达到200 mm/d，同时，隧道掌子面塌方不断[1]；国内宝中线堡子梁铁路隧道，全长904 m，施工中掌子面附近频繁塌方，掌子面向外挤出，排架下沉1 200 mm，拱顶围岩剥皮掉块，裂缝宽度达到50～150 mm，边墙向中间挤入300～400 mm[2]；国内雅泸高速泥巴山隧道，穿越元古界震旦系下统苏雄组流纹岩，隧道施工至1 700 m处时，掌子面出现塌方，起初掌子面围岩外挤，隧道变形增大，拱顶下沉增大，地层开裂严重，后出现长达30 m左右的塌方，二次衬砌随之开裂[3]。因此，保证软弱围岩隧道施工过程稳定是隧道工程顺利完工的关键。关于隧道掌子面稳定性的理论研究，目前可总结归纳为3类，即隧道掌子面极限破坏压力理论、隧道掌子面上覆围岩压力理论和隧道掌子面上覆围岩失稳理论。

隧道掌子面极限破坏压力理论具有代表性的有稳定系数法、极限分析法和Janssen筒仓理论等。稳定系数法是Broms和Benermark[4]采用极限解析方法提出的求解黏土地层条件下掌子面稳定系数的方法。极限分析法是Atkinson和Potts等[5-6]提出的方法，可求隧道支护力下限解和上限解。Janssen筒仓理论的基本思想是通过考虑楔形体和棱柱体的极限平衡，列出水平向和竖向的平衡方程，求出维持开挖面稳定所需的掌子面最小支护力[7]。

隧道掌子面上覆围岩压力理论具有代表性的有全土柱压力理论、普氏压力理论、太沙基压力理论和国内《铁路隧道设计规范》中的方法等。全土柱压力理论认为，上覆围岩垂直压力仅与隧道埋深有关，埋深较小时，计算值与实际值一致，埋深较大时，计算值比实际值大，这是由于埋深较大的情况下围岩会产生拱效应，而全土柱压力理论没有考虑围岩中拱效应的应力传递。普氏压力理论认为围岩为松散体，除具有内摩擦效应外，还存在一定的黏性，洞室顶部能形成压力拱，作用于衬砌结构上的压力仅为压力拱与衬砌结构间松散岩土体的质量，与拱外岩层及洞室埋深无关[8]。太沙基压力理论是将围岩看作松散体，但是具有一定的黏聚力，认为隧道开挖引起围岩产生位移，上覆围岩由于重力作用而向下移动，且在隧道影响范围内出现剪切面，围岩颗粒相互错动使得围岩颗粒之间应力传递，导致隧道周围围岩对下移的围岩有一定阻碍作用，使其最小支护压力远小于围岩原始应力[9]。由于计算参数较少，计算简单，太沙基压力理论得到广泛应用。我国《铁路隧道设计规范》[10]中推荐的围岩垂直均布松动压力计算公式是根据1 000 多个塌方点的资料进行统计分析而拟定的，在我国应用广泛。

隧道掌子面上覆围岩失稳理论始于前苏联学者米纳耶夫1938年提出的放矿放出体形状为椭球体的概念。1952年前苏联学者马拉霍夫在他的著作《崩落矿块放矿》中，系统论述了放矿椭球体理论体系。20世纪60年代，随着崩落采矿法的发展，我国学者对放矿理论进行了大量研究，取得了很多成果，指导了矿山生产[11-12]，椭球体理论在松散介质失稳和放出体研究中得到广泛应用。椭球体理论认为，坍落体近似一个椭球体，如图1所示。曲线AOA′所包络的漏斗形状体称为放出漏斗，A-A′水平层以上各水平层所形成的下凹漏斗称为移动漏斗，将各水平层移动边界连接起来所形成的又一旋转椭球体称为松动椭球体。放出椭球体(如图2所示)的放出体积可按下式求得。

式中：Q为截头椭球体体积；a为椭球体长半轴长度；b为椭球体短半轴长度；ε为椭球体偏心率；n=x/a。

为方便应用，a用被截椭球体的高度h和放出口半径r表示，则

图1 椭球体理论模型Fig.1 Ellipsoid theory model

a、b分别为椭球体的长半轴和短半轴长度；h为被截椭球体高度；r为放出口半径。

图2放出椭球体
Fig.2 Ellipsoid drawing

将椭球体理论应用于隧道围岩稳定性分析中可研究隧道掌子面上覆地层的失稳机制。孔恒[13]对隧道上覆地层结构失稳进行分析，建立了隧道工作面上覆地层结构失稳坍落的椭球体概念。武军等[14]分析了颗粒椭球体理论在砂土地层隧道计算极限支护压力的可行性，认为隧道松动区边界为极限椭圆，当支护压力由正常支护逐渐减小到临界支护力时，松动区域逐步扩大至极限椭圆，此临界支护力就是所求的松动土压力。宫全美等[15]基于颗粒椭球体理论，经分析认为，隧道上部松动区滑动面为椭圆形，并据此推导出了受滑动面倾角影响的侧土压力系数计算公式。

经过以上掌子面稳定性理论的分析，本文以具有代表性的筒仓理论和太沙基压力理论为基础，借鉴运用椭球体失稳坍落理论，建立了隧道掌子面失稳计算模型，对隧道掌子面失稳计算公式进行了推导，并将推导公式与经典公式进行对比，验证了推导公式的合理性，以期为类似研究提供参考。

1 隧道掌子面失稳计算模型的建立

针对松散体或具有一定黏聚力的松散体地层，围岩级别为易发生失稳的Ⅴ、Ⅵ级围岩，建立隧道掌子面失稳理论计算模型，如图3所示。

图3 隧道掌子面失稳理论计算模型Fig.3 Theoretical calculation model of tunnel face instability

2 隧道掌子面失稳计算公式推导

2.1 掌子面楔形体受力分析

根据隧道掌子面极限破坏压力筒仓理论，计算时取隧道掌子面为一个与隧道断面面积相等的矩形，此时，掌子面的高度为隧道断面高度D。令掌子面的宽度为B，则

B·D=S隧道。

式中S隧道为隧道断面面积。

若隧道断面为圆形，则掌子面的宽度B=πD/4。

掌子面楔形体受力分析见图4—7。

图4 楔形体受力分析Fig.4 Force analysis of wedge

图5 楔形体侧面受力分析Fig.5 Lateral force analysis of wedge

图6 楔形体正面受力分析Fig.6 Positive force analysis of wedge

图7 楔形体侧滑动面受力分析Fig.7 Force analysis of wedge on lateral sliding surface

(1)

式中：B为楔形体宽；D为楔形体高；γ为土体的重度；α为楔形体两侧滑动面与竖直方向的夹角；θ为楔形体前方滑动面与水平方向的夹角，应通过试验求得，若无试验数据，可参照太沙基理论通过内摩擦角φ求得，θ=π/4+φ/2。

3)pv为楔形体竖向压力。

(2)

式中σv为楔形体上方松动土压力。

4)N为楔形体前方滑动面上的法向作用力(计算中可抵消，不做展开)。

5)T为楔形体前方滑动面上的摩阻力。

由Mohr-Columb准则τ=c+σtanφ，可得

(3)

式中：c为土体的黏聚力；φ为土体的内摩擦角。

6)N′为楔形体两侧滑动面上的法向作用力。

对楔形体侧滑动面进行受力分析，可得

(4)

7)楔形体两侧滑动面上的摩阻力T′。

由Mohr-Columb准则τ=c+σtanφ，可得

T′=cAQKR+N′tanφ=

(5)

对楔形体进行受力分析，则

X方向：

N′cosα-T′sinθcosα=N′cosα-T′sinθcosα。

Y方向：

p+Tcosθ+2T′cosθ=Nsinθ。

Z方向：

pv+W=Ncosθ+Tsinθ+2T′sinθcosα+2N′sinα。

结合各参数的表达式，化简后，可得掌子面支护力

[cos2θ+sin2θcosα+sinθcosθtanφ(1-cosα)]。

(6)

式中：m1=sinθ-cosθtanφ;m2=sinθ+cosθtanφ。

2.2 上覆围岩压力分析

为了便于计算和对比分析，将建立的隧道掌子面失稳理论计算模型中的上覆围岩部分简化为半椭球体加椭圆台，椭圆台部分的受力分析如图8所示。

图8 椭圆台受力分析Fig.8 Force analysis of elliptical plate

式中：B″和L″分别为椭圆台顶面椭圆长轴和短轴长度；B′和L′分别为椭圆台底面椭圆长轴和短轴长度；Z为椭圆台高；B1和L1分别为椭圆台任一平行于底面的截面椭圆长轴和短轴长度。

在Z方向建立平衡方程，则

(7)

又

τ=c+K0σvcosβtanφ。

(8)

将式(8)代入式(7)中得

(9)

可求其通解，并代入可得

σv= (B″-2ztanβ)n1(L″-2ztanβ)n2·

由边界条件可知，当z=0时，σv=q0，则

σv= (B″-2ztanβ)n1(L″-2ztanβ)n2·

(10)

2.3 参数β值的确定

由文献[13]可知，隧道纵向的坍落椭球体高度小于横断面坍落椭球体的高度，从寻求的隧道掌子面失稳模型的角度出发，最终求解的是引发掌子面坍塌的最小支护力，也就是最先发育为坍落椭球体时的掌子面支护力。 因此，从最不利的角度考虑，对纵向坍落椭球体进行分析即可。

根据隧道掌子面上覆围岩椭球体失稳理论，隧道掌子面纵向椭球体失稳模型如图9所示。

由文献[13]可知，坍落体高度

式中：ε为偏心率；L为掌子面前方受影响的楔形体沿隧道开挖方向的长度；ht为椭球体最低点到隧道拱顶的高度，ht=Ltanθ/2。

图9 隧道掌子面椭球体失稳模型Fig.9 Ellipsoid instability model of tunnel face

另外，假定椭球体的轴比等于侧压力系数k0[17]，即

由图9分析可知

(11)

由式(11)可知，β仅与K0和θ有关，与其他参数无关。

2.4 隧道埋深与坍落椭球体高度的关系

坍落椭球体能否发育形成，是需要一定条件的，即隧道埋深要大于坍落椭球体的高度，否则，掌子面上覆围岩就不能形成坍落椭球体。

隧道埋深与坍落椭球体高度的几种关系如图10所示。 图10中H为隧道拱顶至坍落椭球体短轴的高度。

1)当隧道埋深hd大于坍落椭球体高度h，即hd>h时，可发育形成完整的坍落椭球体。

2)当隧道埋深等于坍落椭球体高度，即hd=h时，坍落椭球体处于刚好发育形成的临界状态，定义此时的隧道埋深为可发育成完整坍落椭球体的临界埋深h0。

3)当隧道埋深小于坍落椭球体高度时，不能发育形成完整的坍落椭球体。此时，形成的上覆围岩坍落体，定义为截头坍落椭球体，又分为2种情况：①H

相应地，不同隧道埋深上覆围岩压力计算公式(10)中z和q0的取值如下：

2)H

3)hd

式中q1为地表超载。

(a) hd>h

(b) hd=h

(c) H

(d) hd

3 公式验证

厦门市文兴隧道工程位于厦门市思明区，为山岭分离式双线城市隧道，左线全长2.021 km，右线全长1.993 km。 隧道沿线多为山地、厂区及居民小区，左线进口ZK0+640～+680段构造裂隙较发育，地质条件差，围岩级别为Ⅴ级，重度γ=20 kN/m3，黏聚力c=25 kPa，内摩擦角φ=20°，泊松比ν=0.2，埋深15 m，地表无超载。 隧道断面如图11所示。

图11厦门文兴隧道左线ZK0+660～+680段断面图(单位：cm)

Fig.11 Cross-section of ZK0+660～+680 of left line of Wenxing Tunnel in Xiamen (unit: cm)

由推导公式可以求得，本工程中坍落椭球体相关参数h=38.43 m，H=16.77 m，β=6.8°。 由图10可知，本工程符合第4种情况，即隧道埋深hd

表1 不同方法竖向围岩压力对比Table 1 Comparison of vertical surrounding rock pressure among different methods

注：β=90°时，公式无解，取β→90°(β=89.999 999°)时的值代替。

图12中，β=0°时围岩压力随竖向深度的变化曲线与太沙基压力理论求得的曲线重合；β→90°时的曲线与全土柱压力理论求得的曲线重合。 说明当β=0°时，本文推导公式的计算结果与太沙基压力理论一致；当β→90°时，本文推导公式的计算结果与全土柱压力理论一致，验证了推导公式的合理性。 而由于考虑了上覆围岩的张开角β，使得推导公式更灵活，具有更广的适用性。 本工程中通过坍落椭球体理论确定的β=6.8°，求得的上覆围岩压力在太沙基压力理论和全土柱压力理论计算结果之间，更接近太沙基压力理论计算结果，这是由于上覆围岩张开角β更接近0°。

图12 不同方法下竖向围岩土压力随竖向深度的变化曲线Fig.12 Variation curves of vertical surrounding rock pressures with vertical depths under different methods

4 实例分析

采用埋深为6.27 m、地表荷载为0 kPa的隧道进行分析。 隧道围岩参数见表2，隧道横断面见图13。

表2 围岩参数Table 2 Parameters of surrounding rock

图13 隧道横断面图(单位：cm)Fig.13 Tunnel cross-section (unit: cm)

4.1 推导公式计算

用推导公式进行掌子面失稳椭球体高度和掌子面失稳支护力计算。 理论失稳椭球体模型如图14所示。其中，失稳椭球体的高度为9.25 m，拱顶到椭球体短轴的高度H=1.49 m。

图14 理论失稳椭球体模型(单位：m)Fig.14 Theoretical instability ellipsoid model (unit: m)

当埋深为hd=6.27 m时，由于失稳椭球体的高度h=9.25 m，拱顶到椭球体短轴的高度H=1.49 m，所以隧道埋深与失稳椭球的关系属于图10中所示的第3种，即H

4.2 数值模拟

为了比较计算结果，建模分析掌子面失稳椭球体高度和掌子面最小支护比。模型底面施加固定约束，4个侧面施加水平约束，顶面自由，不施加约束，计算采用Mohr-Coulomb准则，围岩参数见表2。 数值模拟过程为：首先，在掌子面施加与原围岩应力相等的支护力；接着，逐渐减小掌子面支护力，直至减小为0或计算不收敛。

经分析，掌子面失稳时的围岩应力、位移和塑性区云图如图15所示。

从图15可以看出，在埋深为6.27 m的条件下，随着掌子面支护力的减小，围岩掌子面的压应力也随之减小，围岩掌子面产生向隧道内的位移，进入塑性状态，且影响范围直达地表，地表受到影响产生沉降。 进一步地，绘制掌子面的失稳破坏模型，如图16所示。 由图16可以看出，由于埋深没有达到临界埋深，所以失稳椭球体不能完整发育，但掌子面破坏范围基本上被失稳椭球体所包围，失稳体是一个截头椭球体。

绘制掌子面关键点的位移与掌子面支护比的关系曲线，如图17所示。

由图17可知，掌子面失稳时的位移突变所对应的掌子面最小支护比为0.70，与理论计算值0.73相差4.3%，差别不大，可认为理论计算和数值模拟结果具有较好的一致性。

(a) 应力云图(单位：Pa)

(b) 位移云图(单位：m)

(d) 塑性区云图

图16 掌子面失稳破坏模型(单位：m)Fig.16 Instability model of tunnel face (unit: m)

图17 关键点掌子面挤出位移与掌子面支护比关系曲线Fig.17 Curve of relationship between extrusion displacement and supporting ratio of key points of tunnel face

5 结论与讨论

1)推导出的隧道掌子面失稳计算公式，可以求出维持掌子面稳定的最小支护力和完整失稳坍落椭球体的临界埋深值。

2)分析了隧道埋深与坍落椭球体高度的位置关系，并给出了不同位置关系情况下z和q0的求解方法。

3)当上覆围岩的张开角β=0°时，本文推导公式的计算结果与太沙基压力理论一致；当β→90°时，本文推导公式的计算结果与全土柱压力理论一致，说明了推导公式的正确。 另外，由于本文推导公式考虑了上覆围岩的张开角，使得推导公式更灵活，具有更广泛的适用性。

4)运用推导出的隧道掌子面失稳计算公式对实例进行了分析，求得了维持掌子面稳定的最小支护比，并用数值模拟方法进行对比分析，验证了推导公式的准确性。

5)下一步可在软弱围岩隧道掌子面预加固设计施工中分析验证本文提出的掌子面失稳计算方法，并研究不同预加固措施对掌子面支护力的贡献，以为掌子面预加固设计和施工提供参考。