多视角破解抛物线题

唐果城

例题 已知抛物线C：y₂=8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l，交l于点B，|AK|=·|AF|，则△AFK的面积为____.

分析 快速、准确地作出抛物线的图像是顺利解答本题的第一步，如右图所示.抛物线的定义及焦半径公式是考生的必备知识.通过图像分析题目要求的△AFK的面积，由图可知|KF|即为焦准距p，即|KF|=p=4，关键在于求底边KF上的高，即求出点A的纵坐标.请大家思考，怎样来求点A的纵坐标呢？我们一起来欣赏下面的解决方案.

方案一

反思 此解法较常规，我们很容易想到直接设出点A的坐标为（x₀，y₀）（y₂>0），要注意y₀的取值范围，同时联系抛物线的定义及焦半径公式，得出|AF|=|AB|=x₀+2，利用△ABK为等腰直角三角形列出方程，进而求得x₀=2，y₀=4，从而使问题迎刃而解.

方案二 由题意可知抛物线的焦点为F（2，0），准线l：x=-2，则点K的坐标为（-2，0）.设点A的坐标为（m， ）（m>0），则AF=AB=BK=m+2.由|AK|=2），化简可得m=2.故点A的坐标为（2，4），则△AFK的高为4.所以，△AFK的面积为1/2×4x4=8.

反思 方案二从题设开始减少未知数的个数，使未知数变为一个，这种充分利用已知条件减少参数个数的思想在解决问题中是非常重要的.

方案三 过点A作AB⊥l，交l于点B，则|AF|=|AB|，|AK|= |AB|，所以直线AK的斜率为1.又可知点K的坐标为（-2，0），所以直线AK的方程为y=x+2.于是由

解得x=2，y=4，则点A的坐标为（2，4）.所以，△AFK的面积为1/2|KF·||y₀|=1/2×4×4=8.

反思 此方案充分挖掘題干信息，快速、准确地得出直线AK的斜率为1，又直线AK过定点K（-2，0），可得直线AK的方程，然后联立方程组解得点A的坐标，从而问题得到圆满解决.从方程的角度入手，联立直线方程与曲线方程求交点坐标，是解决直线与圆锥曲线问题的常用方法.

方案四

反思 由AB∥x轴，|AK|=

|AF|，|AF|=|AB|，可知△AFK为等腰直角三角形，从而得到∠AKF=45°是本方案的关键点.然后联系余弦定理求出|AF|=4，进而可知四边形ABKF为正方形，故等腰直角三角形AFK的底边KF上的高为4，从而问题得解.

启示 在平常的学习中，同学们要勤于思考和探索，逐步适应，发散思维，既要按照常规要求进行思考，又不拘泥于常规，这也是新高考及新时代人才的需求方向.