耗散修正的Camassa-Holm方程解的存在唯一性

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(浙江理工大学理学院,杭州 310018)

0 引 言

本文主要考虑修正的Camassa-Holm方程的Cauchy问题，该问题可以描述为：

mt+auxm+bumx=0,t>0,x∈R

(1)

u(x,0)=u0(x),x∈R

(2)

修正的Camassa-Holm方程是作为不变的Hk空间中扩散自同态群的测地线方程，由Constantin等[1-2]导出。当a=2,b=1,k=0或者1时，方程(1)分别为KdV方程和Camassa-Holm方程，其中Camassa-Holm方程的形式为：

ut-uxxt+3uux=2uxuxx+uuxxx

(3)

它最早是被Fokas等[3]提出，直到Camassa等[4]将其作为浅水波模型才被认真研究。方程(3)从被研究以来，许多人都在关于它的适定性方面做出了贡献，例如，Constantin[5]、Constantin等[6]以及Misiolek[7]分别讨论了s≥4，s≥3和s>3/2时关于初值在Hs(S),S=[0,2π]上的局部适定性；在非周期情况下，Li等[8]证明了初值在Hs(R)(s>3/2)上解的局部适定性。关于修正的Camassa-Holm方程(1)，Malachlan等[9]研究了其解的适定性以及弱解的存在性，他们证明了周期的Cauchy问题在空间Hs(s>7/2)上是局部适定的，并且解持续依赖于初始值；在非周期情况下，Mu等[10]研究了解在Hs(R)(s>7/2)空间的局部适定性问题，并且证明了解依然持续依赖于初始值。Fu等[11]研究了方程(1)的Cauchy问题并且证明了解在Hs(R)(s>7/2)空间不一致连续。

类似修正的Camassa-Holm方程，Escher等[12]推导了一个二元修正的Camassa-Holm方程组：

(4)

以上研究表明，无论是修正的Camassa-Holm方程，还是二元修正的Camassa-Holm方程组，当r=2时其解的存在空间Hs(R)都要求s>7/2。本文通过对修正的Camassa-Holm方程添加耗散项，利用半群性质、非线性估计、缩映射原理及能量估计，改进了已有的解的适定性，建立了其在低正则性空间中解的存在唯一性。

1 主要定理

本文考虑修正的Camassa-Holm方程在低正则性空间中解的存在唯一性，给定初值u0∈L2(R)，建立如式(5)描述的耗散修正的Camassa-Holm的适定性问题：

(5)

(6)

其中：

本文提出的主要定理如下：

定理1对于u0∈L2(R),存在T>0,方程(6)存在唯一的解u满足

u∈C([0,T]:L2(R))∩L2((0,T):H2(R)).

定理2对于u0∈H2(R),有任意的T>0,当a=2,b=1时方程(6)存在解u满足

u∈C([0,T]:L2(R))∩L2((0,T):H2(R)).

最后，本文给出Lp(Rn)空间和Hs(Rn)空间的定义及其范数形式：设p为非负实数，则定义Sobolev空间Lp(Rn)为：

Lp(Rn)空间f(x)的范数为：

设s为非负实数，则定义Sobolev空间Hs(Rn)为：

Hs(Rn)空间f(x)的范数为：

2 非线性估计

考虑方程(6)所给出的初值问题，其中它的积分形式为:

(7)

(8)

证明由f(u)的表达式，再结合Sobolev嵌入定理[16]有

其中，右边第四项的估计为：

其中，F[·]表示对·做傅里叶变换。再由Hölder不等式有

(9)

证明结合引理1即可证明引理2成立。

引理3考虑线性方程

(10)

(11)

证明在方程(10)两边同乘ω并在R上对x积分可得：

两边同时对t从0到T积分可得：

则可得到上式的估计为：

即证明了引理3。

(12)

由引理3得：

(13)

对∀δ>0，N∈N,则对任意的n>N有

再取T>0，对使得n≥N有

综上所述，对∀δ>0，∃T>0,使得

方程(7)的非线性部分的估计为：

令v=u-s(t)u0，则v可以看作是如下初值问题的解,

(14)

方程(14)的积分形式表示为：

(15)

(16)

(17)

证明先证式(16)成立，

由引理2可知式(16)成立。

式(17)的证明为：

方程(14)两边同乘v并在R上对x积分可得

两边同时对t从0到T积分可得

则对任意的ε>0，有

则有

(18)

证明通过引理2-5，有

3 适定性

利用压缩映射原理证明解的存在唯一性，如此令

(19)

(20)

(21)

通过引理2及引理6，得

(22)

(23)

联立式(22)—(23)，得到

选取适当的δ，a，T有

类似可以得到：

(24)

综上即证明定理1成立。

证明定理2，首先有能量估计为：

引理7对于u0∈H2，当方程(6)中a=2,b=1时，有

(25)

证明当a=2,b=1时，方程(6)为：

(26)

(27)

两边同乘u并在R上对x积分可得

由H2守恒率有

则有

因为

所以

从而证明了引理7成立。

结合定理1及引理7的证明，就可以得到方程(26)存在全局解，则证明了定理2。

4 结 论