关于向量组线性相关性的教学

缪应铁

摘 要 现阶段，向量组线性之间的相关性问题属于线性代数教学期间的关键性内容，直接关系到学生数学学习的有效性，该内容的基础概念相对抽象，而且其中的相关定理也非常难理解，学生需要花费大量时间进行学习与掌握。所以，长时间以来，逐渐成为线性代数教学过程中的难点问题。从某种程度上讲，借助对向量组线性相关性所具有的基本定义与相关判断方法实施正确解读与形象描述，能够顺利建立起向量组线性相关性以及线性方程组与矩阵相互间的内在关系，在此基础上，更好地帮助学生对向量组线性相关性内容的学习，深刻理解其内涵，掌握相对简便的求解方法。

关键词 线性表出 线性相关 线性无关 线性方程组

高等代数是数学专业必修课程的专业基础课程，能够在一定程度上有效锻炼学生自身的抽象能力以及逻辑思维能力，与此同时，对学生创新思维与创新能力培养有着非常强的指导作用，学好高等代数意义重大。此外，高等代数课程不仅具有相对严谨的理论知识体系，而且还有着较强的逻辑推理，其中的大量概念是对具体对象相互间共性的抽象化。向量组的线性相关性知识是本课程的一个重点与难点，它贯穿于线性代数课程的始终。向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题，实质上，它与数学学习中的多项环节都息息相关，比如，它与行列式以及矩阵等都有着紧密联系，但是向量线性相关以及线性无关两者的最终判别却是非常难理解的，也是学生理解学习的难点内容。

1 向量组线性相关性与线性表示的概念

定义1对n维向量组如果存在一组不全为零的实数k1，k2，…，km，使得

k1 +k2 +…+km =0， （1）

则称向量组线性相关，否则称它们线性无关。

定义2 对n维向量%[与向量组如果存在实数k1，k2，…，km，使得

%[= k1 +k2 +…+km （2）

则称单个向量%[可由向量组线性表出。

实质上，向量组线性相关所具有的充分必要条件是向量组当中必须要有一个向量可以由其他部分线性表出，其中需要注意的是“存在性”，也就是说，只需要存在就行。在实际教学期间，若学生依然难以理解不同定义见的关系，则我们可以将其用一个相对简单化的语言进行详细表述，这种情况下，学生会更容易接受这种概念，进而熟练掌握学习方法。

要证明向量组线性相关，就需要找到一组不全为零的数k1，k2，…，km，使它们的线性组合等于0，而对于证明向量组线性无关，不可能对所有不全为零的数k1，k2，…，km，验证（1）式不成立，从而说明只有全为零k1，k2，…，km，使（1）式成立，在介绍线性方程组时指出其解与向量组的线性相关性与线性表示之间的紧密关系。同样地，在介绍向量组和矩阵的秩时应指出其重要用途之一就是用来进行线性方程组解的判定。

线性无关和线性相关其实非常直观，举个例子：红R，绿G，蓝B是色彩的三原色，这三种颜色可以混合出其他所有颜色。假设这三个值都可以取0-255之间的整数值。比如纯红（255，0，0），纯绿（0，255，0），纯蓝（0，0，255），紫色（255，0，255），全白（255，255，255），全黑（0，0，0），等等。

现在三种颜色e1=（1，0，0），e2=（0，1，0），e3=（0，0，1）可以组合成其他任何颜色，比如某一颜色a=（24，0，127）=24*e1+0*e2+127*e3 所以a和e1，e2，e3是线性相关的。但是e1，e2与e3这三个之间不能由其余两个线性表出（比如e2与e3组合出来的第一个分量永远是0，不能变为1），所以e1，e2，e3是线性无关的。

如果向量组A线性相关，则有不全为0的数k1，k2，……，km使k1a1+k2a2+……+kmam=0因为k1，k2，……，km不全为0，不妨设k1不等于零，所以a1=-1（k2a2+……+kmam）/k所以a1能由a2，a3，a4……am线性表示，如果向量组A中有某个向量能由其余向量线性表示，不妨设am能由a1，a2……am-1线性表示，既有h1，……hm-1使am=h1a1+……hm-1am-1，所以h1a1+……+hm-1am-1+（-1）am=0，因為h1，h2，……，hm-1，-1这m个数不全为零（至少-1不等于0），所以向量组A线性相关。

定理1 假设向量组Ⅰ为而向量组Ⅱ为

（i） 若向量组Ⅰ线性相关，则向量组Ⅱ也线性相关；

（ii）若向量组Ⅱ线性无关，则向量组Ⅰ也线性无关。

几个n维向量组线性相关，意思就是他们在同一个维空间中。例：（1，2）和（2，4）线性相关，他们在同一平面内，（1，2）和（1，3）线性无关，他们不在同一平面内。n个向量线性无关就是他们都各占一个空间维度，不能互相加减抵消，共同张成了一个n维空间（想象一下空间直角坐标系中的三个坐标轴）。有一个定理是说，n维空间中的m个向量，若m>n，必线性相关。按上面的理解，这个定理就是：一条直线上只能有一个互不共线的向量，同一平面内最多有2个不共面的向量，三维空间内最多有3个。这都是很显然的。极大线性无关组指出向量组中最多有几个向量线性无关，也就是这个向量组张成了一个多少维的空间。

（1）向量组向量总数不变但都增加（或都去掉）相同个数的分量；

（2）向量组每个向量的分量个数（即维数）不变但向量组向量个数增加（或减少） 向量组线性相关可理解为存在一组系数向量组的每一维，该系数对应的线性方程都成立，线性无关则可理解为不存在满足上述条件的系数。一n维向量组线性相关，说明存在一组系数使n维对应的n个方程都成立，去掉相同个数的分量，维数降低，方程个数减少，同一组系数当然还是能使每个方程成立。一n维向量组线性无关，说明不存在一组系数使n维对应的n个方程都成立，增加相同个数的分量，维数增加，方程个数变多，满足更强条件的系数当然就更不存在了。增加向量组向量的个数，相当于增加上述线性方程的元数，如果较少元数都能找到满足条件的系数，取同一组系数，对增加的元数令系数为0，易知如此扩展的一组系数也必定满足条件。上述结论的逆否命题即为，减少向量组向量的个数，原来无关的向量组仍应无关。

解：方法⑴

设有一组数k1，k2，k3使k1%Z1+k2%Z2+k3%Z3=0，可得

k1+k2+k3=0

k2+2k3=0

2k1+3k2+4k3=0

3k1+5k2+tk3=0

由前三个方程得k1=k3，k2=-2k3，代入第四个方程得（t-7）k3=0，要找到不全为零的数k1，k2，k3满足方程，k3必不等于0，于是t=7时有%Z1-2%Z2+%Z3=0，

即%Z1，%Z2，%Z3线性相关。

方法⑵

因为%Z1，%Z2线性无关，如果%Z1，%Z2，%Z3线性相关，必有%Z3可

由%Z1，%Z2线性表出。设%Z3=a%Z1+b%Z2，则：

a+b=1

b=2

2a+3b=4

3a+5b=t

，解得

t=7，此时%Z1，%Z2，%Z3线性相关。

证明：n维向量组a1，a2，…，an线性无关的充分必要条件是：任一n维向量a都可以由它们线性表示。

证明：充分性：若任一n维向量a都可以n维向量组a1，a2，…，an线性表示，那么，特別地，n维单位坐标向量组也都可以由它们线性表示，又向量组a1，a2，…，an也可由n维单位坐标向量线性表示。所以，向量组a1，a2，…，an与n维单位坐标向量组等价。

而n维单位坐标向量组是线性无关组，从而向量组a1，a2，…，an也是线性无关组。

必要性 若n维向量组a1，a2，…，an线性无关，又任意n+1个n维向量必线性相关，设a是任一n维向量，则向量组a，a1，a2，…，an线性相关，故a可以由a1，a2，…，an线性表示。

如果深入思考可以发现，线性代数中每一个定义，定理都有其现实意义，代数就是对现实的高度抽象。人们从3个苹果，3个梨，3个人这些东西中抽象出了他们的共同特征：数字，并定义了他们的运算。后来发现不止是数字可以运算，于是又从数字抽象出群，环，域，线性空间等代数结构，等等。线性代数主要研究的是线性空间上的线性变换，线性在生活中是普遍存在的，可以说是宇宙中最简单的关系，分析学中许多非线性的东西也可以用线性来近似。

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 刘晓民，李贞.关于《高等代数》教学的点滴体会[J].商洛师范专科学校学报，2003.17（3）：81-82 .