一种基于混合超混沌系统的图像加密算法

沈超 杜娟

摘要：为了进一步提高图像加密算法的安全性能，文章提出了一种基于混合超混沌系统图像加密算法。算法首先根据明文像素值特征参数构建与明文相关初值插入到Lorenz超混沌系统的龙格库塔解法中，产生的混沌序列对明文图像进行置乱操作，再根据置乱后的图像像素值特征参数插入到Chen超混沌系统的龙格库塔解法中产生混沌序列。仿真分析表明，该加密算法不但有随机性更好的混沌序列，密钥空间更大，而且扩散程度更高，最重要的是实现了明文相关和密文反馈，具有抵抗穷举攻击、统计攻击、差分攻击等常见攻击的能力，使得加密安全性进一步提高。

关键词：图像加密；混合超混沌系统；明文相关；密文反馈；置乱与扩散

中图分类号：TP391.9 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）20-0186-04

A Image Encryption Algorithm Based On Mixed Hyperchaos System

SHEN Chao， DU Juan

（School of Information Science and Engineering， Lanzhou University， Lanzhou 730000， China）

Abstract： In order to further improve the security performance of image encryption algorithm， a image encryption algorithm based on mixed hyperchaos system was proposed in this paper. Firstly， the algorithm is constructed in the Runge Kuta solution of the Lorenz hyperchaotic system based on the feature parameters of the plaintext pixel value， and the chaotic sequence generated by the chaotic sequence is scrambled to the plaintext image， and then the chaos of the image pixel value after the scrambling is inserted into the Runge Kutta solution of the hyperchaotic system to generate chaos. Sequence. The simulation results show that the encryption algorithm not only has better randomness and better chaotic sequence， the key space is larger， but also the diffusion degree is higher. The most important thing is to realize the relevant and ciphertext feedback， and have the ability to resist the common attacks such as poor attack， statistical attack， differential attack and so on， which makes the security of encryption further improved.

Key words： Image encryption； Mixed hyperchaos system； Plaintext related； Ciphertext feedback； Scrambling and diffusion

1 引言

隨着计算机信息安全技术的飞速发展，数字图像的传输也日渐增多，由于图像信息具有相关性强、数据量大和冗余度高等特点，传统的经典数据加密算法已经很难保证图像加密的安全性和效率[1-2]。近些年来，由于混沌系统产生的混沌序列具有类噪声、对初始值极端敏感和结构复杂等特点，被广泛应用数字图像加密技术中。最初，基于混沌的加密算法大多数集中在低维混沌系统[3-4]、多个低维混沌系统的简单组合[5]，这些方法的加密系统简单、密钥空间小、序列复杂程度低，导致加密系统的安全性不高。超混沌系统与普通混沌系统相比，其非线性行为更加复杂也更难以预测，产生的混沌序列随机性更好，使得加密系统具有更大的密钥空间并且使得加密结构更加复杂。因此，基于超混沌和组合超混沌的图像加密技术已经成为主流的研究趋势[6-8]。

2算法基本原理

2.1 混沌系统

一般超混沌系统中有两个或两个以上正Lyapunov指数，正Lyapunov指数越多，系统的运行轨道不稳定的方向越多，非线性行为更加复杂多变，系统的随机性越好，其用于图像加密时抵御攻击的能力越强，使得加密算法的安全性大大提高。

本文算法选取了两个性能优良的超混沌系统，分别为Lorenz超混沌系统、Chen超混沌系统。

2.1.1 Lorenz超混沌系统

Lorenz超混沌系统，其动力学方程如式所示：

[x=a（y-x）+wy=cx-y-xzz=xy-bzw=-yz+rw] （1）

其中[x]，[y]，[z]，[w]是系统的状态变量，[a]，[b]，[c]和[r]是系统的控制参数，当[a=10]，[b=8/3]，[c=28]，[-1.52≤r≤-0.06]时，式（1）处于超混沌状态。

2.1.2 Chen超混沌系统

Chen超混沌系统，其动力学方程如式所示：

[x=a（y-x）+wy=dx-xz+cyz=xy-bzw=yz+rw] （2）

式（2）中，[x]，[y]，[z]，[w]为系统的状态变量，[a]，[b]，[c]，[d]和[r]是系统的控制参数，当[a=35]，[b=3]，[c=12]，[d=7]，[0.085≤r≤0.798]时，公式（2）进入超混沌状态。

2.2 加密算法设计

2.2.1 明文相关性方案

利用系统的初值作为密码体制密钥，在加密中生成所需的混沌序列。初值的产生不仅与混沌系统有关，而且与明文图像有关。由于不同图像中使用的密钥是不同的，所以密码系统可以抵抗已知明文攻击、选择明文攻击和选择密文攻击。输入的明文图像[P]的大小是[M×N]，其灰度图像像素值是从0到255的整数总共包含256个灰度级别。根据灰度值等级[[0，64）]，[[64，128）]，[[128，192）]，[[192，256）]，将图像的像素值划分为四个块矩阵，即[H1]，[H2]，[H3]，[H4]。从这四个块矩阵生成初始值密钥值，具体生成如式所示：

[ni=[sum（P（Hi（：）））+XOR_Hi]/NHi] （3）

[x0=n1-floor（n1）y0=n2-floor（n2）z0=n3-floor（n3）w0=n4-floor（n4），i=1，2，3，4] （4）

式（3）中[NHi]是每个块矩阵中的元素个数，[sum（P（Hi（：）））]是每个块矩阵中元素的和，[XOR_Hi]是按位异或数值结果中每个块矩阵的元素。式（4）中[floor（ni）]是向负无穷方向取整数。

2.2.2 Lorenz超混沌系统序列生成

将得到的初始值密钥[（x0，y0，z0，w0）]代入到Lorenz超混沌系统中，利用四阶龙格库塔法迭代[M×N+1000]次，为了消除混沌序列的瞬态效应，提高对初始条件的敏感性，舍弃混沌序列的前1000个值。因为混沌系统状态值构成的序列是浮点数，所以不能直接用于图像加密。本文利用了式（5）将混沌状态值[xi]转化为了整数[di]，转化后的混沌序列可适用于图像加密。

[di=floor（xi×10m）modL] （5）

式（3）的目的就是将小数部分的小数点右边的[m]位转化为整数，之后再求模[L]运算，得到的混沌序列记为

[S1={di}，i=1，2，…，M×N+1000] （6）

2.2.3 像素置乱

图像置乱就是改变原始图像像素的排列顺序，扰乱了相邻像素的空间相关性，使得原始图像变成无意义的混乱图像。置乱不会改变原始图像的像素值，只是改变了各个像素在空间的位置。本文置乱方案如下，

a）將生成的混沌序列[S1]中重复的元素舍弃只保留一个；

b）集合[{1，2，…M×N}]中没有在序列[S1]中出现的元素从小到大的顺序排在序列[S1]的尾端，最终得到无重复的序列[S1]；

c）再将明文图像矩阵[P]展开成一维向量[A]；

d）对向量[A]进行位置置换，再将置换后的向量[A]还原为[M×N]的矩阵。

2.2.4 Chen超混沌系统序列生成

将置乱后的图像[A]按照明文相关性方案中的算法得到初始值密钥，并将其代入到Chen超混沌系统中，同样利用四阶龙格库塔法迭代[M×N+1000]次，并进行优化处理得到序列[S2]。

2.2.5 像素扩散

单纯的置乱算法，无论算法设计的多么复杂，都是“纯”加密处理，置乱仅仅破坏了明文图像相邻像素的相关性，因为灰度直方图没有改变，所以无法避免已知明文或者选择性明文攻击。为了增强加密图像的安全性，采用灰度扩散算法使得在不改变像素点位置的前提下，将任一明文像素点的信息通过异或运算分布到尽可能多的密文像素点中去，使得各像素灰度值的分布更加均匀，消除了置乱后图像的纹理特征。

扩散算法一般采用模运算和加运算，模运算使得计算结果位于正常的取值范围内，加运算使得不同的像素的灰度值相互关联，从而增强了各像素之间的相关性，增强了扩散效果。本文采用模运算和加运算相结合的扩散算法，使得扩散程度更高。算法公式如式（7）所示：

[Ci=（Ci-1+Si+Pi）mod256] （7）

其中[P]是明文一维向量，[S]为密码向量，[C]为相应的密文一维向量，初始值[C0]来自密钥，[i=1，2，…，MN]。进行两次循环操作后才能将每个明文像素点的信息都扩散到密文中。加密的效果如图1、2所示。

3 仿真结果及分析

3.1 密钥分析

3.1.1 密钥空间

密钥空间的大小是所有合法密钥构成的集合。一个良好的加密方案应该具有足够大的密钥空间，并且对加密的密钥足够敏感，从而能够抵御穷举攻击。在本文算法中，密钥空间由两个超混沌系统8个状态变量初始值组成，用15位小数的双精度实数表示，则密钥空间可以达到[1015×1015×1015×1015×1015×1015×1015×1015=10120≈2512]，相当于512bit的密钥长度。理论上本算法的密钥空间无限大，完全能够有效地抵御穷举攻击。

3.2 直方图分析

直方图反映出数字图像像素值的分布情况，经过加密的图像其像素值的分布应该是均匀分布的，这样攻击者无法再读取任何有效的统计信息，由图3，4看出，加密后的图像直方图相比原始图像发生了较大的改变，加密后的图像直方图分布均匀，从中已经无法得到任何有效的信息，因此本文的算法具有良好的抵御统计分析攻击的能力。

3.3 相关性分析

一般地，明文图像在水平、垂直、正对角方向上的相邻像素点间具有较强的相关性，而密文图像中的相邻像素点间没有相关性。从原图像和加密图像中随机选取2000对相邻像素（水平、垂直或对角），如图5所示，明显地显示出加密前后在各个方向上相关系数分布情况。

从表1中数据可知，明文图像的相关系数更接近于1，相邻像素高度相关，而加密后的密文图像约等于0，密文图像在各个方向上不具有相关性。

3.4 信息熵分析

信息熵反映出图像信息的随机性和不可预测性。信息熵的计算公式如式（8）所示：

[H=-i=0Lp（i）log2p（i）] （8）

式中，[X]是信息熵，[p（i）]是像素值[i]出现的概率，[L]是像素的灰度级数。从信息熵的定义可以看出，熵越大，信息量越大，可视信息越少。本文加密后图像的信息熵为7.9972，接近理想信息熵值8，说明本文的加密算法性能优良能抵御熵攻击。

4 结束语

本文通过明文像素值特征参数构建与明文相关参与Lorenz超混沌系统混沌序列的生成，对明文图像进行置乱操作后将其特征参数再次插入到Chen超混沌系统的龙格库塔解法中产生混沌序列，实现了明文相关和密文反馈。从仿真实验的结果来看，算法密钥空间足够大能有效地抵御穷举攻击；加密后的密文图像像素灰度分布均匀，相邻像素点相关性更低，能有效抵御统计分析攻击；加密后图像的信息熵为7.9972，更接近于理想值8，能很好地能抵御熵攻击。

参考文献：

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