随机应变求最值

曾秀云

摘 要：在初中数学中，最值问题是较为常见的一类问题，学生遇到求最值方面的问题时，常感到较为困难，这是因为一方面学生对求最值的常用方法不能从整体上把握，另一方面转化的思想和数学建模能力有所欠缺。因此，教师应注重求最值的常用方法的介绍和培养学生灵活、综合运用数学知识的能力。在教学实践中对这类问题进行了汇总、分类，归纳出如下几种求最值的基本方法：构造不等式模型求最值，构造函数模型求最值，利用轴对称思想求最值，构造辅助圆求最值等。希望学生能掌握求最值的基本思想方法，做到随机应变求最值。

关键词：函数；辅助圆；对称；基本不等式

在初中数学中，求实际问题或图形中某种量的最值是一种常见的题型，笔者在教学过程中发现：学生在遇到这类问题时，常感到无从下手，找不到解决问题的思路、方法。这类问题，可考查学生对数学基础知识、基本技能的掌握情况，及灵活运用数学知识的能力，同时也展示了学生数学核心素养的差异。如果说数学中函数与图形的性质是一顶皇冠，那么最值问题就是皇冠上最璀璨的一颗明珠！有鉴于此，笔者认为，教师应注重培养学生求最值方面的能力，让学生切身体验数学的应用价值和独特魅力，逐步培养学生爱数学、学数学、用数學的思想意识，践行新课程改革的精神。

在教学实践中，笔者发现最值问题的表现形式多种多样，数的方面，有求实际问题中某种量的最值；图形方面有求最短距离，线段的长的最值，有求封闭图形周长和面积的最值等。不同的题型，不同的条件，求解类似的结果。这就要求学生能依据问题的特点，灵活选择解决问题的途径和方法。在教学实践中，我对这类问题进行汇总、分类、解析，归纳出如下几种类型，与业内同行交流，不足之处还请斧正。

一、构造不等式模型求最值

生活中同类的量之间有相等的情况，和相等的情况相比，不等的情况更为普遍，不等式（组）是刻画不等关系的数学模型。当实际问题中的某种量受到一些不等关系的约束时，我们可以建立不等式（组）模型，求出该种量的最值。

例1.某舞台剧在市艺术中心举行，观众在门口等候检票进入大厅，且排队的观众按一定的速度增加。检票的速度是一定的，当开放一个大门时，需用半小时待检观众才能全部进入大厅；当开放两个大门时，只需十分钟；现在想提前开演，必须在五分钟内全部检完票，问至少需同时开放多少个大门？

答：至少需同时开放4个大门。

二、构造函数模型求最值

我们生活在一个变化的世界中，世间万物皆有关联，初中阶段函数是刻画两个相关联的变量之间关系的数学模型，是初中数学知识体系的重要组成部分，也是难点之一，函数是最值问题和图形最值问题的重要载体，构造函数模型求实际问题中某种量的最值是中考重点考查的内容，这类问题主要有如下两种情况：

1.求实际问题中某种量的最值

这种类型以销售类的实际问题较为常见，可构造的函数模型涵盖一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数等，解决问题的思想方法较为成熟，限于篇幅不再列举。

2.最优化问题

在现实生活和生产中，有诸如“材料最省”“利润最大”“成本最少”“造价最省”等，这类问题可称之为“最优化问题”，可考虑构建二次函数模型解决。

例2.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设BC边的长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2。

（1）求y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

解析：本题的关键在于准确求解第（1）小题。

解（略）

三、利用轴对称思想求最值

生活中处处都有对称美，精致的窗花、壮观的天安门、和谐的树叶、翩翩的蝴蝶等。可以说我们生活在一个对称的世界中，对称显得端庄、沉稳，让人有踏实感；对称能让我们由局部认识整体，由已知认识未知，见微知著，一叶知秋。在我们数学领域，对称思想是一种很重要的数学思想，在解决几何最值方面有强大的威慑力，我们研究的函数图象，特殊四边形，圆和正多边形无不具有轴对称性，运用轴对称思想既可求几何问题的最值，还具有确切的经济价值和现实意义。

前面列举了初中数学中求最值的几种常用方法，以期同学们能够从整体上把握求最值的思想方法，诚然，最值问题类型繁多，表现形式各异，有构造三角函数求最值，有曲面上的最值问题，有视图方面的最值和坐标平面内某一平面图形面积的最值等。最值问题既像龙宫里夺目的夜明珠，又像深山中最珍贵的草药，若隐若现，若即若离，它激励我们去追求与采撷。我们要不畏艰辛，奋力进取，学会随机应变求最值，切身体会最值的唯美特质，进而学会在生活中去发现美、鉴赏美、创造美，培育数学核心素养中的数学美学理念。

参考文献：

[1]胡炯涛.数学教学论[M].广西教育出版社，1996-01.

[2]莫由著.90年代的数学教育：国际性展望的综述[J].数学教学，1989（3）.