悖论与数学发展

王铭阳

摘 要：悖论表示与人的直觉和经验相矛盾的结论或命题，主要分为语义学悖论和逻辑-数学悖論。在数学史上，由于人们认识上的局限性，悖论的发生是不可避免的，并引发了多次数学危机。本文先是介绍了悖论的定义，阐述了由悖论引发的三次数学危机，然后重点讨论了芝诺悖论和贝特朗奇论，最后给出了悖论的发展及其意义。

关键词：悖论；数学危机；芝诺悖论；贝特朗奇论

中图分类号：O144.2 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）20-0220-02

“悖论”一词最早源于古希腊，它表示与人的直觉和经验相矛盾的结论或命题，也被称为“逆论”或“反论”。悖论的矛盾性主要体现在语义学和逻辑学上，前者称为语义学悖论，后者称为逻辑-数学悖论。在数学的发展史上，由于不同时代的人们在认识上总是存在一定的局限性，悖论的发生是不可避免的，由此引发了数学史上的三次危机。但是，悖论的发现客观上迫使人们转变了过去的思维方式，重新构建和完善了数学基础，从而极大地促进了数学的发展。因此，悖论在数学认识史中具有重要的意义。

1 悖论与数学危机

悖论通常可以描述为一种导致逻辑矛盾的命题。即如果承认该命题是真的，那么它又是假的；如果承认它是假的，那么它又是真的。或者由它为真可以推出它为假，反过来由它为假又可以推出它为真。关于悖论的准确定义，可以从以下几个方面来具体阐述[1]：

（1）悖论总是相对于一定的理论系统而言的。比如，贝克莱悖论是针对微积分体系提出的，罗素悖论则是在朴素集合论的框架下产生的。（2）悖论的核心是逻辑矛盾。根据逻辑矛盾的不同，悖论又分为语义学悖论和逻辑-数学悖论。语义学悖论是通过语义学上的真假概念构成的，比如说谎者悖论；逻辑-数学悖论则是借助于数学和逻辑符号形成的，比如毕达哥拉斯悖论和贝特朗奇论等。（3）悖论不同于诡辩。诡辩是一种歪曲的论证，表面上运用了正确的推理手段，实际上却违反了逻辑规律，得出的结论似是而非，具有一定的迷惑性。而悖论只是限于当时的知识范畴因而无法解决，它在推理上是符合逻辑规律的。

悖论实际上是研究问题的一种方式。在数学历史上，新理论的提出总是伴随着对旧理论的质疑，悖论往往在此时出现。正是数学悖论引发了数学史上著名的三次危机。

第一次数学危机产生于公元前五世纪，它是由毕达哥拉斯悖论的出现而导致的。毕达哥拉斯学派认为宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比，因此有理数理论在当时的数学规范中占据统治地位。后来其学派成员希帕索斯发现，等腰直角三角形斜边与直角边之比是不可通约的，它们的比不能归结为整数或整数之比。这一发现严重冲击了当时希腊人的常识，从而触发了数学史上的第一次危机。直到两千多年后，戴德金等数学家引入了无理数的概念，建立起实数理论，第一次数学危机才得以彻底解决。第二次数学危机由对微积分理论中无穷小量的质疑产生。17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立创建了微积分。后来英国大主教贝克莱提出，牛顿在微分的推导过程中，先是认为无穷小量不是零，最后又让它等于零，无穷小量是“已死的幽灵”。这就是“贝克莱悖论”，它导致了数学史上的第二次危机。十九世纪八十年代初，随着严格极限理论的建立，尤其是魏尔斯特拉斯创立的语言，消除了“无穷小”概念引起的混乱，第二次数学危机得到解决。第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初。当时，康托尔创立的集合论，成为整个现代数学的逻辑基础，同时也是产生危机的直接来源。英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素提出，集合论并不具有绝对严密性，它是自相矛盾的，即“罗素悖论”。这在数学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。后来策梅罗采用集合论公理化的方法试图消除罗素悖论。随着数学家们对理论的不断改进和完善，逐渐形成了许多集合论公理系统，比如ZF系统以及由冯诺伊曼等人提出的NBG系统等，从而消除了以罗素悖论为代表的一系列集合悖论。但第三次数学危机并没有彻底被消除，数学基础和数理逻辑方面的许多重要课题仍然亟待解决。人们在向这些目标前进的过程中不断产生了许多新的重要成果[2]。

历史上三次数学危机的爆发，都是由数学悖论导致的，可见数学悖论在数学的发展史上有着非常重要的影响。正是一个个当时无法解释的数学悖论的产生，引发了许多数学家的深入思考，并不断提出新的理论试图解决悖论，从而推动了数学的持续进步与发展。

2 经典数学悖论

悖论的议题非常广泛，涉及数理科学、逻辑学、语义学、哲学等领域。在数学上，悖论可以分为时间悖论、概率悖论、逻辑悖论、统计悖论和几何悖论等。

2.1 芝诺悖论

古希腊数学家芝诺提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论，其中最为著名的是关于阿基里斯追乌龟的悖论，也称阿基里斯悖论[3]。

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在和乌龟的竞赛中，假设阿基里斯的速度是10米/秒，乌龟的速度是1米/秒，开始时乌龟位于阿基里斯前100米处。芝诺认为，在赛跑中阿基里斯永远无法追上乌龟。因为当阿基里斯到达乌龟之前所处的起始位置时，乌龟在这段时间内已经往前爬了10米；当阿基里斯再追上这10米时，乌龟又往前爬了1米；等追完这1米，乌龟又往前爬了一段距离。这样无限追赶下去，虽然阿基里斯与乌龟的距离在不断缩短，但他永远也无法追上乌龟。

这样的推理过程看似很有道理，结论却显然与人们的常识不符。按照我们现在的知识，在100/9秒后二者即可相遇。而以当时芝诺悖论的逻辑来看，这100/9秒可以无限划分下去，永远也用不完。这一问题的矛盾在于时间的连续性与离散性。将100/9秒类比为1秒，在这1秒内可以先经过 1/2秒，再经过1/4秒，再经过1/8秒……这样无限细分下去，永远也过不完这1秒。但显然1秒很容易就会过去，将经过的1/2、1/4、1/8秒等相加，这是一个正项级数并且收敛于1。即无限个越来越小的数相加和可能是有限的，因此阿基里斯是可以在有限的时间内追上乌龟的。

2.2 贝特朗奇论

贝特朗奇论是法國学者贝特朗于1899年提出的，主要针对几何概率这一概念。它的描述如：在圆内随机选取一条弦，求弦长超过该圆内接等边三角形边长的概率[4]。

解法一：由于对称性，不妨设弦的一个端点固定于内接三角形一顶点，另一端点在圆周上随机移动，如图1中（a）所示，当另一端点落于三角形底边对应的弧上时，弦长满足上述条件，概率为1/3。解法二：由于对称性，可只考虑某指定方向上的弦。作一条直径垂直于该方向，如图1中（b）所示，当所作的弦中点位于该直径的处至处时，弦长满足上述条件，概率为1/2。解法三：由于圆内弦的位置被其中点唯一确定，在大圆内作半径为大圆半径一半的同心圆，如图1中（c）所示，当大圆内弦的中点落在小圆内的任意一点时，弦长满足上述条件，概率为1/4。

同一问题却有三种不同的结果，原因是取弦时采用了不同的等可能性假定。解法一假定弦的另一端点在圆周上的落点处处等可能；解法二假定弦的中点在直径上的落点处处等可能；解法三假定弦的中点在大圆内的落点处处等可能。三种做法各自的假定都是正确的。贝特朗奇论的问题在于概率定义本身，在定义概率时一定要明确指出具体的样本空间。

3 悖论的发展与意义

我国古代很早就有关于悖论的思考，《庄子·天下篇》中写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，反映了当时的人们认为物质是可以无限分割的，但现代物理学已经证明了时间和空间都是不能无限分割的。刘慈欣的《三体》一书中也对费米悖论做出了新的解释。他认为在宇宙文明的生存竞争中，任何暴露自己存在的生命都将很快被消灭，这就是宇宙文明的图景，生存选择的最终结果是所有文明都变得难以发现。

悖论是科学发展的产物。它的出现正是由于当时的人们对某些概念的理解认识不足导致的，因此悖论的作用主要体现在检验和完善已有的理论体系，从而推动科学不断向前发展。数学悖论的提出往往引起人们的好奇与思考，比如罗素悖论的通俗说法理发师悖论等，人们在争辩的过程中对这些问题背后的原理有了更深刻的了解，然后提出新的见解。这些贯穿于整个数学史上的大大小小的矛盾，从产生、发展到激化，和最终的解决，为数学基础问题提供了新的研究方向。它推动着数学家们不断寻求新的概念、新的方法以及新的理论来替代旧有的框架，然后又会引发新的危机，带动数学发展进入新的阶段。数学就在这样一种不断产生矛盾、并不断解决矛盾的过程中曲折地向前发展。

在21世纪的今天，讨论和研究悖论问题时，不能把悖论的出现当成是一种灾难，相反应该将它看成是促使人们进行辨证思维的动力。每一次悖论的发现和相对解决，都推进了数学和逻辑的发展演化[5]。解决悖论的过程实际上就是发展人的认识以克服历史局限性的过程。因此，悖论对于推动整个科学发展乃至人类进步，都具有重大的作用。

参考文献

[1]赵院娥，乔淑莉.悖论及其对数学发展的影响[J].延安大学学报：自然科学版，2004，（1）：21-25.

[2]洪辛.芝诺悖论与数学危机[J].自然辩证法研究，1986，（2）：39-48.

[3]曾诣.科学悖论的矛盾性及其对思维发展的意义[J].韶关学院学报，2011，（4）：85-88.

[4]李建明，刘庆欧，郭东星.几个有趣的悖论的数学辨析[J].山西医科大学学报，2003，（s1）：75-77.

[5]夏基松，郑毓信.西方数学哲学[M].人民出版社，1986.