浅谈“勾股定理”中的思想方法

陈 芬

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用.它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，将数与形统一起来，在现实生活中有着广泛的应用.

一、梳理知识点

1.勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为 a、b、c，且 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

3.满足关系 a2+b2=c2的 3 个正整数 a、b、c称为勾股数.

二、思想方法总结

1.数形结合思想.

直角三角形是一个几何图形，而勾股定理反映的是三边长的数量关系，是代数问题.其逆定理是从数量关系得到图形的情况.在探索勾股定理时，利用网格图中的方格得到数量关系也是数形结合的完美体现.

【例1】如图1，在矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G.若G是CD的中点，则BC的长是（ ）.

A.7 B.8 C.9 D.10

图1

【分析】先利用ASA证明△DEG和△CFG全等，可得 DE=CF，EG=FG.设 DE=x，用 x表示出BF，再利用勾股定理求EG，再求出EF.然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BF=EF，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD.

解：∵在矩形ABCD中，G是CD的中点，

易证△DEG≌△CFG，∴DE=CF，EG=FG.

设 DE=x，则 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x.在 Rt△DEG 中 ，

∵FH垂直平分BE，∴BF=EF，

∴AD=AE+DE=4+3=7，

∴BC=AD=7.故选A.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键.

2.分类讨论思想.

【例2】如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，若点 P在 AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为_____.

图2

图3

图4

【分析】需要分类讨论PB=PC和PB=BC两种情况.

解：在矩形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=6.

如图3，当PB=PC时，即点P是BC的中垂线与AD的交点，则

在Rt△ABP中，由勾股定理得：

如图4，当BP=BC=6时，△BPC也是以PB为腰的等腰三角形.

综上所述，PB的长度是5或6.

故答案为：5或6.

【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和勾股定理.解题时，要分类讨论，防止漏解.

3.方程思想.

解决问题时从问题的数量关系入手，通过已知量与未知量的关系建立方程（组），使问题得到解决，这就是方程思想.

【例3】如图5，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B.已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？

图5

【分析】根据C、D两村到E站的距离相等，可得DE=CE.在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，根据勾股定理可将DE和CE的长表示出来，列出等式求解.

解：∵C，D两村到E站的距离相等，

∴DE=CE.

∵DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，

∴∠A=∠B=90°.

∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2.

∴AE2+AD2=BE2+BC2.

设AE=x，则BE=AB-AE=25-x.

∵DA=15，CB=10，

∴x2+152=（25-x）2+102，

解得：x=10，

∴AE=10.

∴收购站E应建在离A点10km处.

【点评】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，再利用等量关系列方程求解即可.