电池剩余放电时间的预测模型∗

王建芳 丁艾琳

（1.西安铁路职业技术学院 西安 710026）（2.西安交通大学经金学院 西安 710061）

1 引言

铅酸电池广泛应用于电瓶车、电动汽车、清洁车、自行车、老年代步车和自动引导车等。电池的使用量变得越来越大，那么，对于电池的荷电状态和供电时长研究显得尤为重要，提出以下问题：

1）建立同一批次电池以不同电流强度放电的放电曲线模型，并给出其平均相对误差MRE。分别以30A、40A、50A、60A和70A电流强度放电，测得电压都为9.8V时，根据获得的模型求剩余放电时间；

2）建立20A～100A之间任一恒定电流强度的放电曲线模型，并用MRE评估模型的精度。用表格和图形给出55A时的放电曲线；

3）预测电池衰减状态3的剩余放电时间。

（数据来源高教社杯全国大学生数学建模竞赛2016C题）

2 问题分析

问题1）中，首先读取数据，画出散点图，选择预测分析方法，得到放电曲线t=fi(u)模型；其次，从最低保护电压开始以不超过0.005的最大间隔筛选231个电压样本点，计算平均相对误差；最后将电压9.8V代入30A～70A的模型中，求出剩余时间。

问题2）中，在问题1）的基础上，首先找到电流强度与系数之间的关系式，得到t=f(u，i)的通用模型；其次通过计算平均相对误差来评估模型精度；最后利用通用模型求55A时的放电曲线。

问题3）中，首先读取数据，画出散点图，通过回归分析找到4种状态的关系模型，其次，根据模型预测出衰减状态3的缺失数据，最后求出剩余时间。

3 问题1）模型建立与求解

3.1 建立20A～100A各电流强度的放电曲线模型

根据附件1（见2016C）数据，利用Matlab软件［1～5］画出散点图 1，通过分析图像，发现它们有共同的曲线变化趋势，t∝u之间可能存在幂函数或指数函数关系，在此采用多项式拟合［6～8］，拟合曲线如图2、3所示（以20A、30A为例）。

20A～100A各放电曲线模型如下：

3.2 MRE计算

MRE的定义：由于放电曲线的预测精度取决于低电压段的质量，所以采样点的选择从最低保护电压Um开始，以最大间隔不超过0.005V选取231个电压样本点，其对应的样本放电时间与模型放电时间的平均相对误差表示如下。

其中，ti为样本放电时间，为模型放电时间，n为样本数，由式（2）计算可得到20A～100A的MRE值如表1所示。

表1 20A～100A的MRE值

由表1可知，平均相对误差的范围在1.5%～3%之间，误差很小，所得放电曲线模型精度满足要求。

3.3 30A～70A剩余放电时间计算

将 u=9V， 9.8V 代入模型（1）电流强度 i=30， 40，50，60，70A的函数关系式中，计算得出其对应的剩余放电时间如表2所示。利用Matlab软件［6～8］画出t∝i变化趋势如图4所示。

表2 30A～70A剩余放电时间表

图4 30A～70A剩余放电时间图（9.8V）

由图可知，随着电流强度的增加，剩余放电时间在逐步减少。

4 问题2）模型建立与求解

4.1 任一电流强度的放电曲线模型

根据对问题的分析，需要得到任一电流强度下的放电曲线，需建立电压U、时间t、电流I之间的函数关系式，由问题1可知，电池的放电曲线满足二次函数，并且二次函数的系数随电流的变化而变化，所以建立如下模型：

通过数据拟合［9～11］，可得各系数与电流强度的关系如下：

将式（3）和（4）合并可得到 u=f(t，i)的二元函数模型如下：

其中系数取值可由A(i)，B(i)，C(i)的系数确定。

4.2 模型精度评估

通过计算平均相对误差来评估模型的精度。将电流强度 i=20A～100A 代入式（3）和式（4）中，运用Matlab软件和Excel求得各电流强度对应的平均相对误差如表3所示。

对9个平均相对误差进行综合分析，求其平均值为2.8%＜3%，在误差范围内，因此模型建立合理，可以推广为一般通用模型。

4.3 电流强度为55A时的放电曲线

将i=55A 代入式（3）和式（4）中，可得到电流强度为55A时的放电曲线模型为

表4 55A时间表

对照2016C附件1数据，55A放电时间均包含在50A～60A之间。

图5 55A剩余放电时间与电压关系图

5 问题3）模型建立与求解

要补充状态3的缺失数据，先对4种状态的样本数据进行关联分析。根据4种状态：新电池状态0、衰减状态1、衰减状态2所给数据，利用Matlab软件作出散点图如图6所示。

由图6可知，4种状态之间逐步衰减，但衰减程度可能不同，在此以相邻状态的数据差值Δti，i+1(i=0，1，2)作为衰减因子，采用多元线性回归法［12～15］，以 Δt2，3为因变量，以 Δt0，1，Δt1，2作为自变量，进行多元线性回归分析，则有

图6 4种状态的的散点图

衰减状态3的预测放电时间为

衰减状态3的预测剩余放电时间为

由以上分析得到模型如下：

由模型计算可知，R2=99.5% ，p＜＜α，说明模型是可信的，利用Matlab做出4种状态的放电曲线如图7所示，由此得到衰减状态3剩余放电时间为219.52min。

6 结语

通用模型简单方便，根据不同情况，只要将数据改变代入模型中，即可求任意电流强度的放电曲线。由于数据量大，多次拟合，存在一定误差，但通过MRE评估后，模型可靠，可推广用于生活中的多个领域。