浅谈整数十进制与N进制间的“砌权法”转换技巧

文/珠海市理工职业技术学校 陈金坡

在中职学校中，数制转换的学习和应用涉及到多个学科，比如：《数学》 《电子技术》 《单片机》《PLC》 《微机原理》等，对于即将成长为技能型人才与高素质劳动者的中职生来说，它具有重要的实践应用价值，同时也是一个学习难点。

一、问题的提出

数制即选取一定的进位规则，用多位数码来表示某个数的值，如表1所示。可用按权展开的数学通式来表达任意进制数：

表1 常见数制类型及其代码符号

式 （1）中，D代表任意进制数，n为整数部分的总位数，kn-1为第n-1位数的数码，Nn-1为第n-1为的权，N代表某一进制。由于数制转换对中职生不作研究要求，基本实践应用中只有整数部分，所以本文对数制转换过程中的小数部分不作研究对象。

传统的数制转换方法，通常采用按权展开法、基数乘除法、比例法，如图1常见进制间转换方法所示。

基于进制位数的 “比例法”，适用于二进制与2n进制间的转换，其它进制间的转换由于位数不匹配而不适用，此方法较为简单、具体，学生容易掌握，在此不作累述。

图1

基于基数的乘除法，适用于十进制转换为N进制，在整数转换部分，只需要用到除基取余法，即将需要转换的十进制数，连续除以转换目标进制的基数，直到商为0，再逆序排列余数可得到结果。

例题1.将十进制数19转化为二进制数。

解：根据除基取余法，将19连续除以二进制的基数2，取出余数，具体如下：

所以： (19)10=(k4k3k2k1k0)2=(10011)2

在实际教学中，我们发现学生对基数乘除法的掌握情况，达不到我们想要的教学效果。可能转换过程过于抽象，而除法取余是学生数学运算的硬伤，学生经常出现除法取余理解困难和答案高低位错乱的情况。

基于数学通式的按权展开法，适用于N进制转换为十进制，在整数转换部分，按照N进制的位权形式展开多项式和的形式，通过求幂、乘法、加分运算得到结果。

例题 2.将二进制 (101)2转化为十进制数。

解： (101)2=1×22+0×21+1×20=(5)10

在实践应用过程中我们发现：按权展开法公式过于复杂，学生难以记忆，书写容易出错；且与基数乘除法一样，在转换过程中具有单向性，学生容易混乱。

面对这样的问题，能否找到一种简单的方法，既可以不涉及到除基求余和求幂运算，又能够满足中职生的数制转换需求？笔者根据多年的教学经验，归纳出利用进制位权值凑数相加的 “砌权法”转换技巧，可以轻松进行整数十进制与N进制间的转换。

二、 “砌权法”的定义及适用范围

“砌”即拼凑， “权”是进制的位权， “砌权法”就是利用进制位权值固定的特点，将需要转换的进制列出若干位权，再根据位权和进制数之间的规律进行拼凑而成。具体过程可以分为三个步骤：

①列权：将相应进制数的若干位权列出，如下表2常见进制的位权表所示。

②定权：确定最高位权值；在十进制转换N进制过程中，假如需转换的十进制数为D，则取位权值小于D的最高位。在N进制转换十进制过程中，N进制数有几位则定位权几位。

③砌权：将各权值由高位向低位凑数相加完成转换。

我们可以发现，进制位权的规律是按照进制的n次方值列出，简单的理解就是，任意N进制的第1位位权都是 “1”，相邻高位位权为低位位权的N倍。由于 “砌权法”在带小数的数制转换过程中，并不具备优势，所以 “砌权法”只适合中职学生在整数十进制转任意进制实践应用过程中使用。

三、 “砌权法”的应用及优点

在十进制转换为N进制过程中，我们如何利用 “砌权法”避免除法运算，并且让过程简单、具体。我们选择较大的十进制数转换为难度较高的八进制数来验证。

例题3.将十进制数172转化为八进制数。

在第②步中，位权值小于172的最高位是3，可以忽略第4位位权值。在第③步中，第3位的权值为 64，3个64大于 172，所以选择2个64来拼凑，剩下44在第2位进行拼凑，可以选择5个8来拼凑，剩下4在第1位进行补充，可以得出答案为： （172）10= （254）8。

表2 常见进制的位权表

通过例子我们发现，利用 “砌权法”可以避免除基取余过程的抽象，又可以将解题过程模块化，简单易懂，有利于学生理解和掌握。

在N进制转换为十进制过程中，我们如何利用 “砌权法”简化按权展开法的复杂公式，避免书写错误。我们选择十六进制数转换为十进制数来验证。

例题4.将十六进制数2AF转化为十进制数。

在第③步中，将十六进制的2AF分别乘以下面对于的权值，其中A代表10、F代表15，分别可得到 512、160、15，再将三个数相加可以得到答案：

（2AF）16= （689）10

通过例子我们发现，学生不必再背诵复杂的数学通式，不必再纠结求幂过程下标和上标的意义，可以步步为营的进行准确转换。

四、结论

本文基于中职学生数学运算能力及逻辑思维较为薄弱的现状，归纳出利用进制位权值凑数相加的“砌权法”转换方法，可替代整数十进制与N进制间转换的按权展开法和基数乘除法。因为 “砌权法”相对于按权展开法和基数乘除法具有以下优点：

a.过程直观，通过一个表格就可以详细解题；

b.步骤独立，每一个步骤都相对独立，容易掌握；

c.算法简单，免去除基取余法和求幂这个硬伤，实现双向转换。