结构拓扑优化方法及其机器人轻量化应用现状及发展*

姚 屏，林 源，汤 勇，曾 琴

（1.华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州 510640；2.广东技术师范学院机电学院，广东广州 510635；3.东莞鸿图精密压铸有限公司，广东东莞 523000）

0 引言

随着人口红利逐步消失，过去几十年通过廉价劳动力支撑的“中国制造”发展模式已难以为继，在这种背景下，各地正积极推进“机器换人”工程，机器人迎来了千载难逢的发展机遇。传统机器人的本体结构未经过轻量化的优化设计，虽稳固但笨重，导致本体结构质量偏大，从而变相使机器人耗费更多的能源进行无用的运动，并限制了载荷上限以及工作环境。因此，如何在结构已经基本定型时进一步提升性能、减少能耗、提高机器人的负载/自重比，实现机器人轻量化，成为当前机器人本体研究热点。研究人员目前主要围绕新材料以及结构优化两方面展开机器人本体轻量化探索。在新材料方面，英国谢菲尔德大学先进制造研究中心(AMRC)[1]以及阿联酋Exechon有限公司[2]等都研发出以碳纤维复合材料等新材料制造的工业机床以及机器人，开拓碳纤维复合材料在工业领域的新尝试。目前更多机器人轻量化的研究还是集中在结构优化上，由于机器人本体结构大多使用传统的均质金属材料制造，同时工业机器人多自由度、重复性工作等特点对结构提出较高的要求，传统经验设计以及实验试件设计有成本高周期长、随机性大等缺点，而结构有限元优化设计方法能很好地解决这些问题。

1 连续体结构拓扑优化现状与发展

1.1 结构优化设计概述

结构优化设计技术是从20世纪70年代开始随着计算机技术和有限元方法迅速发展起的一个力学分支。当下，通过将结构优化理论、有限元法以及传统力学分析结合为一个系统的计算流程，搭建起一套高效、可靠的结构优化系统，能够为用户提供清晰明了的优化设计思路，并在此基础上可进行多响应类型的结构优化设计方案的改善。结构优化依据设计变量不同可划分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化3类。目前，各类结构优化理论已经相对完整并在各领域有所应用，特别是结构的拓扑优化由于能设计出全新的结构造型从而被广泛采用。如Ansys、Hyperwork和Tosca等业内著名的CAE分析软件均已加入了拓扑优化功能模块；其中，Altair Hyperwork旗下Optistruct以及达索旗下的Abaqus是业内最著名的2款具备拓扑优化设计模块的软件。

结构拓扑优化在根据实际情况指定的设计区域内，被赋予各种的边界约束、载荷响应以及其他工艺需要等要求下，能够确定满足工况需求的新结构拓扑构型，从而达到优化设计中相对最优的设计目的。在节约材料方面，结构拓扑优化比尺寸和形状优化效果更显著，在优化算法理论体系已经逐渐成熟的现在，结构拓扑优化在建筑领域已经大有建树，在工业领域也已经取得一些成果，但应用于工业机器人结构设计方面并不多见。

结构拓扑优化主要分为两类：一类是离散结构的拓扑优化[3]，用来确定并设计离散化的分析对象中各个独立要素之间的连接形式、连接关系以及判断要素的存在与否；第二类是连续体结构的拓扑优化，大多数用来确定并设计均质连续体的空间构型，包括连接形式以及孔洞的形状与位置等等。

结构拓扑优化的研究最早可追溯到离散结构中的经典代表——桁架结构，其始于1904年由Michell桁架理论开始发展[4]，但不适用于多目标工况且对应变场的要求较为苛刻，只有在少数条件下才能进行，因此在工程上的实际应用受到限制。随后，Schmit逐渐采用数学规划法来求解转换为数学规划模型的结构优化问题，这在结构优化发展史上踏出了重要的一步[5]。在这之后结构优化领域不断涌现出新的研究成果，连续体的拓扑优化方法发展迅猛，并不断有新的理论出现并以用在实际工程上。

连续体结构拓扑优理论主要分为材料插值模型以及数值求解方法这两个研究方向。

1.2 连续体结构拓扑优化方法

以Bendse和Kikuchi所研究的均匀化方法为起始点[6]，如今连续体拓扑优化方法可根据设计变量是几何状态或材料性质而分为两类。以几何状态为设计变量的拓扑优化方法有变厚度法和泡泡法等，其中变厚度法较常用。以材料性质作为设计变量的方法是当下主流结构优化方法的中心内容，较广为人所用的主要是均匀化法以及变密度法，其将结构拓扑优化问题为确定材料在设计空间中最优分布的问题。除此之外还有水平集法、渐进结构法等较新的优化方法。

变厚度法主要以单元厚度方向的尺寸为设计变量，并以计算后尺寸的大小作为优化的最终结果。这种方法是以尺寸优化理论为基础而发展并推广的，其理论本身决定了难以用于三维连续体结构的拓扑优化。

泡泡法（Bubble method）是由Kobelev、Schumacher和Eschenauer于20世纪末提出的在结构形状优化基础上进行拓扑优化思想的改进方法[7]。主要思想是在设计区域内生成较合理的孔洞，再由尺寸优化来确定它具体的形状与尺寸，并运用特征函数来确定孔洞在设计空间内的具体位置。

均匀化法的拓扑优化应用由Bendsoe和Kikuchi于1988年首次提出，其主要思想是将微结构单元引入设计空间的材料当中[8]，以其几何尺寸以及空间的方位角作为设计变量并通过设计的准则来判断单元是否保留；在连续体的结构拓扑优化中以最小柔顺度（即设计区域内最大刚度）为目标函数，以设计领域的体积为约束优化设计模型，这标志着结构拓扑优化进入一个全新的层次。之后，Suzuki和Kikucki等再度进行完善与概括[9]，Diaz和Ma推进特征值问题在拓扑优化中的发展[10]，随后Nishiwaki等在柔性机构的拓扑优化设计中使用该方法[11]。均匀化法由于设计变量繁多且敏度计算复杂且优化结果往往呈多孔洞结构，在实际生产中难以加工制造而逐渐被取缔。

变密度法通过假定某种与各向同性材料属性相关的密度由0～1变化的理想材料作为求解问题模型的基础，再以有关密度的连续变量函数式来描述相互对应的关系。变密度法以每个单元密度作为各自唯一的设计变量，可以用于多种领域的优化设计。变密度法主要数学模型有SIMP法[12]与RAMP[13]两种。Bendsøe 和Sigmund 证实了SIMP模型具备实际物理意义，Stople和Svanberg对于RAMP模型开展过详细地论证[14]。变密度法通过选用合适的罚函数因子对设计变量的中间密度值进行惩罚，从而使结构的优化模型能够尽可能的只存在0和1两种相对密度单元，也因此对结构刚度矩阵构成影响较小，不会对结构实际性能造成较大变化。由于该数学模型简单，可程序化程度高且易实现，计算效率高，是目前最为常用的拓扑优化计算的模型。

渐 进 结 构 法 （Evolutionary Structural optimization，ESO）对有限元划分的具体单元进行编号，存在材料的为非0，反之为0；计算时不考虑没有材料的单元性能并按照一定规则不断删去，以此最终获得最优的拓扑结构，其思路是对总刚度无较大贡献或应力值小的单元材料进行删除来实现。ESO方法起初应用于以强度、刚度、传热性能等为目标的连续体拓扑优化设计中，之后不断的有研究人员或学者对其进行研究，其中Achtziger等提出理论与传统ESO方法相反的AESO方法[15]，其是通过在高应力区域不断地添加材料来获取新的拓扑结构，并进一步提出双向渐进结构优化方法（Bidirectional Evolutionary Structuraloptimization，BESO)。使用ESO方法对工业产品做优化设计的应用与研究也不在少数，如孙圣权通过使用ESO方法对液压机进行结构拓扑优化[16]等。

水平集方法（Level Set Method，LSM）起初是外国学者Sethian和Osher研究曲线在用以曲率相关变化速率的演化来描述曲线演化过程的一种方法，Sethian等在2000年最早应用潜在的隐函数来描述结构的边界轮廓作为结构拓扑优化的方法[17]，该方法最大的优点是能够清晰地描述结优化过程与结果的拓扑结构边界轮廓；Michael等拓展了水平集拓扑优化的方法，将结构的轮廓边界用转换为更高维函数中的水平集模型来进行描述[18]，但水平集方法从根本上是不断地在求出Hamilton-Jacob微分方法的解，因而在过程总是要求解大量的Hamilton-Jacob矩阵，与其他拓扑优化模型方法相比，计算过程要复杂很多。

除上述几种类型外，还有独立连续映射模型法（Independent-continuous Mapping，ICM）和拓扑导数法（TopologicalDerivative Method）等方法。综上，伴随着计算机数值计算技和基于有限元平台的各种理论体系的迅猛发展，拓扑优化技术不断推陈出新，推动了结构设计领域的进程。

在上述方法中，因变密度法具备通用性强、求解方便、可移植性强等特点，被广大商业性拓扑优化软件采用。

1.3 结构拓扑优化的数值求解算法发展

在拓扑优化的实际应用中要得到理想的结构，不仅对于其数学模型有着严格的要求，同时也需要采用合适高效的数值求解算法[19]，目前主要有两类代表:一种是优化准则法（OC），另一种为数学规划法（MP）。

优化准则法在结构拓扑优化中主要指处于各种边界、载荷等实际条件下，在确定的材料性能中寻求一系列设计方案中能满足工况需求的最优方案。在最开始的研究领域采用的求解算法是基于经验的准则法，包括应力应变法和应变能法等等。优化准则法在20世纪60年代发展起来的并一直到20世纪70年代，研究人员将K-T条件引入优化准则算法中，把基于K-T条件下的数学最优求解作为最优结构应满足的准则，并形成理性准则法。之后，Schmit初次将数学规划法引入结构优化中，其中的惩罚函数法和复合形法等是较多被采用的方法，其迭代通式为：

式中：xk是初始设计量（k是上角标，不是指数），Ck指的是着眼于每次迭代中满足的优化条件（Ck是满足优化条件的迭代公式所生成的一对角矩阵），xk+1是下一个改进的设计量。

优化准则法没有通用性，一般分为3种:离散性优化准则法、连续型优化准则法和离散连续型优化准则法。优化准则法作为一种行之有效的求解拓扑优化的方法，有着收敛速度快，计算效率高、代价小，易于在工程中实现的特点；然而也有着没有通用性，并且对于变量辨识分为主动或者被动，对约束要确定有效或无效，目标函数使用方位小，一般得到局部优化效果的缺点。

数学规划法是采用数学理论方法和分析方法确定迭代的最速下降方法和最优极值点，数学规划法的数学理论严谨，相对而言在实际工程问题中容易得到优化结构图。Schmit在20世纪50年代首次将数学规划法应用到结构优化中，其基本思想是从初始点xi出发，通过对结构数学模型的计算，按照最速方向通过上一个迭代步构建下一个迭代步，之后对xi+1再次进行分析确定下一个迭代步，不断循环直到达到收敛条件。其中的关键点就是知道目标函数下降且满足约束的搜索方向dt，并且要确定沿着搜索方向dt前进的步长ai，从而得到新的设计点，计算如下[20]:

表1 几类主要的拓扑优化方法比较

除了以上两类具有代表性的方法外，遗传算法在拓扑优化中也开始得到应用。遗传算法是依据达尔文的进化理论的哲学思想发展起来的，包括再生、交叉和异化3个过程。遗传算法是按照获得最大效益的原则进行随机搜索的，因此并不能保证每一次进化会优于上一次的进化，但是其总趋势是不断地理想化的。遗传算法在优化过程中不需要函数的单调性和连续性，但是分析次数极多、收敛速度极慢，一般用于设计变量少的结构优化问题。段学超等人就基于遗传算法对并联机器人进行结构优化设计等[21]。

2 结构拓扑优化的机器人轻量化应用。

随着理论体系的飞速发展，不少国际机器人厂家已经开始研制轻量化工业机器人，希望通过结构优化以及整体高协作性来取代笨重的重负载工业机器人，比如Universal Robots发布的UR 5和UR 10机器人。基于结构优化理论的工业机器人轻量化研究成果不断出现。

Albert Albers等[22]以ARMAR III型机器人为研究对象，综合考虑机器人机电系统中的结构和控制，对其手臂进行了拓扑优化设计，如图1所示，装配后效果如图2所示，优化取得了良好的效果。

图1 优化前后结构比对

图2 优化后模型的实际装配效果

Ganesh S.Hegde等[23]采用离散的拓扑优化对机器人连杆进行优化，将最小柔度、质量下降作为目标函数，将弹性位移、速度，实现了初步的优化目标。

Frecker等[24]采用均匀化拓扑优化方法对微夹机构进行优化，并通过基结构法对三位柔性体的机构进行研究设计。

A.Kaveh等[25]将蚁群优化（ACO，Ant Colony Optimization）和有限元分析结合使用在二维和三维结构的拓扑优化设计上，将寻找食物最短路径的蚂蚁比喻为拓扑优化的微结构，在此方法中拓扑优化不受离散问题的限制，并取得良好的效果。

与此同时，国内相关研究人员也纷纷探索结构优化方法在工业机器人轻量化中的应用。

宋浩等[26]对SR3-600型焊接机器人进行静力学动力学分析和拓扑优化，以提高其负载-自重比，为相关机器人的设计提供理论依据。

徐稀文、平雪良等[27]进行基于有限元法的弧焊机器人结构分析，减小最大变形位移值以及最大等效应力值，并验证拓扑结构优化的机械臂的可靠性。

管贻生等[28]以Adams和Ansys为平台，对某搬运机器人进行拓扑优化与尺寸优化，优化后的机器人在整机质量只增加6%的情况下，绝对静态变形降低78.1%，第一阶固有频率提高49.6%。

宁波大学张刚[29]以MOTOMAN-HP20D串联型机器人为例，对其动力学特性及机械臂优化设计进行研究，探讨动态下机器人机械臂的拓扑优化方法，在满足机器人性能的前提下，得到质量更轻的机械臂结构。优化前后对比如图3所示。

图3 优化前后结构比对

西安建筑科技大学高君涛[30]以ANSYS软件APDL命令流对工业码垛机器人大臂进行建模及结构拓扑优化分析，获得两种不同的工况下的拓扑优化云图，为形状优化和尺寸优化提供最优的材料分布和设计方案。

南京理工大学汪俊[31]对换挡机械手进行结构拓扑优化，降低驾驶机器人的质量，提高一阶固有频率，增强驾驶机器人的抗振能力。

大连理工大学张传思等[32]进行硅片传输机器人手臂的拓扑优化设计，针对硅片传输机器人手臂快速运动容易产生机构本体振动的问题，对机器人手臂机构进行拓扑优化设计，得到刚度增加的手臂结构。

大连理工大学白云飞[33]使用变密度法对基座、大臂、小臂进行拓扑优化设计，利用Hyperworks软件进行分析，效果良好。

天津大学维加[34]基于ABAQUS和TOSCA软件对喷涂机器人主要部件进行结构拓扑优化方法。首先利用ABAQUS软件对喷涂机器人的大臂、底座以及腰部进行有限元分析，再采用TOSCA软件进行结构拓扑优化，进一步减轻大臂的质量，仿真计算表明在质量不变的情况下实现了刚度的明显提高。

哈尔滨工业大学占阁[35]针对10 kg弧焊机器人进行研究，首先利用ADAMS对机器人进行动力学分析，求取最恶劣工况时的位姿，在该位姿处对关键零件进行有限元分析。随后采用拓扑优化的方法对机器人的大臂结构进行轻量化设计，优化拓扑如图4所示，大臂通过拓扑优化在轻量化的同时提高了刚度。

图4 大臂拓扑优化图

北京交通大学王阳[36]则以轻型机械臂为研究对象，对机械臂进行结构分析和设计，并在结构分析的基础上对机械臂进行拓扑优化设计。

广东工业大学黄宇涵[37]以诺尔贝公司的一台六自由度高速轻载焊接机器人为例，运用等效静态载荷方法，将动态载荷转化为等效静态载荷，实现机器人动态载荷作用下的拓扑结构优化设计，并对比了同时优化和单个优化组装两种情况，优化形状分别如图5所示，并认为同时优化比单个优化效果更佳。

从上述研究可知，结构拓扑优化方法是一种进行机器人轻量化设计的有效方法，目前已经在各类机器人轻量化中得到广泛应用，但是目前优化算法还比较单一，优化工具尚不成熟，可以预见随着拓扑优化理论的成熟，未来结构拓扑优化将成为机器人轻量化的重要研究方向。

3 小结

从目前的研究来看，拓扑结构优化方法已经引起了大家的重视，并在机器人轻量化中得到一定的应用，但是目前存在一定的局限性：首先，目前大部分研究都是采用有限元分析工具直接进行优化，且大部分有限元优化分析采用的模型是变密度法的模型，灵活性不够且未能发挥其他算法的优势；其次，对于拓扑优化后的产品如何进行改进定型目前全凭经验，缺乏有效的理论指导，使优化效果打了折扣；最后，目前机器人拓扑优化的研究还多停留在理论设计与仿真实验验算，少有采用拓扑优化的机器人产业化。

图5 两种拓扑优化方法对比图

围绕机器人轻量化拓扑优化研究可以从如下几个方面入手，首先考虑基于有限元软件的二次开发，灵活设置优化模型及参数，探索不同拓扑优化模型对不同机器人优化效果的影响，提高结构优化效果；其次，研究拓扑优化结构改进方法，建立理论与经验相结合的结构改进方法与模型，提高结构优化可行性；最后，结合产业实际展开深入研究，对现有的国产机器人结构进行拓扑优化轻量化研究，推动国产机器人轻量化技术发展及产业化进程。