挖掘定点决定因素，另辟蹊径巧妙解题

王磊 王成功

在解决直线和圆的问题时，大家的解题思路往往受到方程思想的禁锢，只会一味地设方程、列方程（组）来解决问题，导致有些问题解决起来既繁又杂，甚至做不出来，本文将介绍一类直线与圆中的定点问题，挖掘隐含定点，另辟蹊径，即可轻松解决.

一、定点与参数范围

例1 已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）不过第四象限，求k的取值范围.

阅读完题干，大部分同学很困惑，不知从哪下手解决问题，对参数进行讨论是很多同学可能会想到的一个途径，但是讨论分类的依据是什么？往哪方面去讨论都没有明确的方向.

此时，如果我们结合问题——求k的取值范围，把已知直线方程的k提取公因式，不难发现，方程可化为k（x+2）-y+l=0，不难发现，直线必过定点（-2，1），因此直线不过第四象限，通过图象易得，直线在y上的截距必须大于等于l.

解 因为直线kx-y+1+2k=0（k∈R）可化为k（x+2）-y+l=0，必过点（-2，1），所以直线不过第四象限，所以2k+l≥1，k≥0.

本题如果不挖掘隐含的定点问题，虽然也能通过设出方程，分别求出两坐标轴上的交点来解决，但是计算量比较大也容易导致错误.

二、定点决定位置关系

例2直线l：（1+3m）x+（3-2m）y+4m-17=0与圆x²+y²+2x-6y-15=0 的交点个数是_______.

对于本题同学们拿到手就有不少思路，思路一：求出圆心到直线的距离，再比较距离和圆半径的大小关系进行判断;思路二：联立方程组，利用判别式判断方程组的解的个数.

这两种思路显然都可以解决本题，但是第一种做法距离含有参数，第二种解二元二次方程组计算量太大，显然这两种方法都不简洁.

当我们把直线方程处理成（3x-2y+4）m++x+3y-17=0，可知直线必过直线3x-2y+4=0与x+3y-17=0的交点，只需要判断计算该定点在圆外、圆上还是圆内即可.

通过判断定点与圆的位置关系，显然是解决本题的一条捷径，

例3圆x²+y²-4x+6y=0与圆x²+y²-6x=0相交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是_________.

本题很多同学的解决办法是，联立方程组求出交点A，B及两点所在直线的斜率，再求中点，根据两直线垂直的斜率之间的关系，确定垂线的斜率，进而得到直线的方程.然而，这样做计算量已经很大了，根据圆的性质可知，两圆相交时，两圆心的连线垂直平分公共弦，因此所求直线必然过两个圆的圆心，这样无需解方程，直接将点代人直线方程即可，

解 因为圆x²+y²-4x+6y=0与圆x²+y²-6x=0的圆心分别是（2，-3）和（3，0），所以两圆交线的垂直平分线即为过（2，-3）和（3，0）的直线，易得直线方程为3x-y=0.

三、挖掘定点，巧设方程

例4 求经过直线l₁：2x+3y-5=0 和直线l₂：3x-2y-3=0的交点，且与直线2x+y-3=0平行的直线方程.

解决本题可以先联立方程组，求出交点，再结合与已知直线平行，求出直线斜率，进而求出直线方程，这样必需解方程组，难免会有一定的计算，既然所求直线必过两直线的交点，那么可通过设过两条直线交点的直线系方程，再结合与已知直线平行，无需解方程组即可解决本题.

利用过两条直线交点的直线系方程，可以在不求交点的情况下轻松求直线方程，

例5 已知两圆M：x²+y²=10和圆Nx²+y²+2x+2y-14 =0，求过两圆交点，且圆心在直线x+2y-3=0上的圆的方程，

本题很多同学的思路是，先联立方程组，求出两圆交点，再设出圆心，进而利用圆心到两交点的距离相等，再解方程，得出圆心和半径，进而求出圆的方程.这种做法需要多次解方程组和解方程，计算量很大，根据过两圆交点的圆系方程，我们可以直接设出直线方程，进而得出圆心，把圆心直接代人直线方程即可求出圆心和所求圆的方程.

通过以上几例，我们不难看出在解决直线与圆等有关问题时，如果所给条件或者是多求问题含有定点，充分挖掘出定点，发挥定点在问题中的作用，就可以另辟蹊徑解决问题，这样在多数情况下，都可以起到少解方程少计算，甚至直接得出答案的作用.