简单的等号，不简单的语义功能

姚赛英

摘 要：一个简单的由两条线段组成的“=”，作为一个关系符号，在小学数学不同的教学内容中描述着不同的等号语言，表述着不同的意义，渗透着不同的数学理念。作为关系符號的等号，可以表述为一种相等的数量关系，可以是一种程序关系、是一种算法和规律、是一种方法，可以在逻辑上表明一种等价关系，它还可以是一种命令……原来，简单的等号并不简单。通过梳理分析各册教材，结合教学实践，对小学数学教学中如何渗透等号表达的不同作用，引导学生真正理解等号的意义进行了初步研究、整理和再思考。

关键词：教材编排；等号语言；等号意义；等号应用

关于等号，1557年，由英国数学家列科尔德首创，他在《智慧的磨刀石》中写道：“为了避免枯燥地重复（等于）这个短语，我认真比较了许多图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更加相同了。”

对于等号，孩子们从幼儿园起就有了前概念，一个苹果+一个苹果=两个苹果（1+1=2），两个小朋友走了一个小朋友，还剩一个小朋友（2-1=1）。而真正学习和理解等号的意义、作用，是从小学一年级数学教材开始的。

等号作为数学中的基本符号之一，使用频率很高而且方便，但实际上我们常常忽视对等号教学的研究，它往往被简单地看成是计算结果的符号过程。而事实上，一个简单的由两条线段组成的“=”，在小学数学不同的教学内容中描述着不同的等号语言，表述着不同的意义，渗透着不同的数学理念。

于是，笔者翻阅了小学数学的十二册教材，对等号的教材安排和等号的语言表达功能进行了初步的分析与整理，对应用等号的教学进行了初步的思考。

一、等号在教材中的总体编排情况

在十二册数学教材中，总体来说等号的关系特征有梯度但不明显，表现形式穿插在各册教材中，呈现着不同的作用。在同一个语言功能中，可以发现有较明显的梯度体现，以下举例中将论证这一编排特点。

二、等号的具体教材编排与语言功能

（一）等号表述一种相等的数量关系，过程递进

一年级上册第17页，3=3，小学数学教材第一次出现“=”这个符号概念，表示左右两边的量相等。在这里，没有程序性关系，等号只是纯粹地表述两个量“一样多”的相等关系。

一年级上册第24页，3+1=4，图形与算式结合，等号在这里开始过程性地表述左右两边的量相等。左边3个气球通过增加1个气球这个过程能和右边的4个气球一样多。

一年级上册第25页，松鼠图3+2=（5），等号的过程性语言表述更进一步，从3后面接着数4，5，就能到达5只，使左右两边相等。

一年级上册第27页，4-（ ）=（ ），等号的过程性语言更加开放，想法不同，就会出现不同的过程性计算，使左右两边相等。

像这样等号表述相等关系的语言功能在后续几册教材中分层出现。

一年级上册，5+2+1=8表述连续性过程；三年级上册第96页■+■不同计数单位的计算。

（二）等号表述一种算法和规律

四年级下册第17页，运算定律40+56=56+40；四年级下册第25页，（25×5）×2=25×（5×2），五年级下册■=■=■在这里等号表示的是一种算法，左边的计算方法等同于右边的算法，并且算法可逆。在这里，算法可颠倒性比算法的结果更重要。

（三）等号在逻辑上表明一种等价关系

如：a=b，a=c那么b=c；a=b那么b=a

a=a是自身性特征，a=b那么b=a属于反身性特征，a=b，a=c 那么b=c这种属于传递性特征。

四年级上册第35页：1平方千米=1000000平方米=100公顷

四年级上册第42页：1周角=2平角=4直角

四年级下册第38页：1分米=10厘米=100毫米

六年级下册第40页：

（四）等号表述程序性语言

一年级下册第50页，25=20+（ ）在十二册教材里这是第一次出现等号左边是结果，等号右边是算式的情况。在这里，等号已经作为一个程序性关系符号出现，建立起一个程序操作使等号左右两边结果相等。

如：五年级上册第72页解方程x+3-3=9-3，借助天平理解两边同时添加一个或多个程序使等式成立，并且求出x的值。五年级下册第64页分解质因数24=2×2×2×3，通过一个短除法的程序得到分解质因数的展开过程。

（五）等号表示建立方程

五年级上册第68页用等号建立一个方程100+x=250，使左右两边保持平衡，经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，积累将等量关系符号化的活动经验。

（六）等号表述一种方法

（1）x+x=x=6，x+y=5，可以求出x和y的值

（2）如：S=ab，C=4a，V=abh，如：总价=单价×数量

五年级下册第31页：长方体的体积=长×宽×高

六年级上册第68页：圆周长公式C=πd，C=2πr

六年级下册第56页：图上距离：实际距离=比例尺

六年级上册第89页：发芽率、出勤率

（七）等号是一个命令

四年级上册第26页，用计算器计算，等号作为一个按键，在这里赋予命令计算的指令。

三、应用等号教学的再思考

（一）等号在教学中应用的现状分析

十二册教材中关于等号内容的编排是有一定梯度的，但教材不会说话，等号在教学中的实际应用、等号的语言表达功能常被忽视，导致等号的关系特征不明显。主要原因有：

1.过于追求“熟能生巧”

一、二年级起，为了加快学生的口算速度，老师们往往会想尽办法让每一个孩子运用巧算、速算提高计算能力，如开小火车、抢答、口算过关等。这种孰能生巧的训练方式对提高计算能力的确有好处，但同时，学生就会习惯于认为等号只是用来连接算式和答案的符号，认为等号是用来执行一种计算的，最后只表示一个计算结果。

2.没有凸显“关系转化”

根据儿童的年龄特征，他们很难自主地将数字命题类推转化到等值关系的符号上，即运用符号到具体的问题情境上。以2+3=5为例，学生往往习惯性地想到2+3的计算结果是5，所以等号的右边写5作为计算结果。这样的思维定式对于今后学习方程、不等式、渗透量与量之间的关系转化都是有潜在问题的。

3.漠视等号“语义功能”

作为关系符号的等号，它的语义功能可以表述为一种相等的数量关系，可以是一种程序关系、一种算法和规律、一种方法，可以在逻辑上表明一种等价关系，它还可以是一种命令……但我们常常在教学中忽视它的这些功能，将功能单一化、简单化。

（二）促进等号语言功能的教学策略

如何培养小学生的符号意识？如何凸显等号的符号意义？笔者结合自己的教学实践，提出了以下几点粗浅的想法。

1.把握时机，重视等号学习的关键时期

曹培英老师说过：“社会生活以及幼儿园早已先于学校培养了儿童的符号意识，小学数学教学者应该以此为基础培养数学的符号意识，而不是重复儿童已有的认知过程。”在小学低段，等号最初作为得出运算结果而出现，主要体现左右两个量之间的逻辑相等关系，表述数与算式结果等值。但是，经过一定阶段后，学生对等号的认识应该寻求突破，教学者应积极主动地构建多样化、不同结构的等式，帮助学生进一步理解等号的含义，把握时机渗透等号表述的含义。

2.合理设计，突破单边运算的思维定式

我们曾对4-3=1和3=4-（ ）这两题做过检测和统计，统计人数为一年级6个班250人，结果4-3=1的正确率为100%，3=4-（ ）的错误率高达65%。

分析原因，在孩子入学前，家长会教他们简单的加减法，如2+3=5、10-3=7等，孩子眼中的等号其实只是得出结果前的过渡符号，作用与“→”是一样的。其次，教师在教学时总是把重点放在认识新面孔“>”“<”上，认为孩子之前已经明白了“=”的意义。殊不知，他们遇到算式在前、数字在后的题目时（如2+5=7），把等号当作“→”，而遇到数字在前、算式在后的题目时（如3=4-□），自然而然会把等号当作“←”。

于是，我们尝试巧用像天平这样的媒介工具，使等号认知形象化，让学生明白4-3=1与3=4-（ ）的运算意义不同，前者表述为一个数寻找等值的运算；后者表述一个运算程序能使等号两边平衡，从算术的角度可理解为数的分解，这有助于学生对等号含义的深入理解。

后测结果显示，3=4-（ ）错误率仅剩约10%。

3.师生助力，增强等号应用的语言功能

数学家罗素说：“什么是數学？数学就是符号加逻辑。”其实，等号所表达的语言功能就是一种逻辑思维。那么，在教学中如何放大和增强等号的语言功能呢？

（1）教师的助推是引领

在等号应用的教学前，教师首先要吃透教材的编排特点，理解教学目标与重难点，其次是用良好的设计作为前提再去课堂中有效地引领，发挥等号的语义功能。在不同的教学内容中，要用合理的教学程序体现等号的不同作用，形成个性化的概念命题图式，拓展它的语义替换功能。

（2）学生的助推是强化

在等号的语言功能里，让学生主动学习表述等号不同的语义作用，强化等号在不同教学内容中的应用意识。如：4-3=1，可以学着描述左边的4个去掉3个剩下1个和右边的1个是相等关系；倒过来说，还可以表述成右边有1个，和左边的4个去掉3个剩下1个是相等的。学会多元化的表述、逻辑助推表达、表达体现逻辑，在思维过程中建立起更加准确的数量关系。

原来，简单的等号蕴藏着那么不简单的语义功能。对于贯穿数学所有教材的等号，它的不同含义、感知等号的语言功能，对于激发学生的数学思考、提高学生的逻辑思维能力是有积极助推力的。

关于等号与它的语意功能，我们还将继续研究，并且逐步完善，使由等号建立的数学模型得到拓展和细化。

参考文献：

[1]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海教育出版社，2017-03.

[2]张天孝，等.小学生代数思维萌发的实验研究[J].小学数学教师，2013（7）.

[3]张丹.如何理解和发展代数思维：读《早期代数思维的认识论、符号学及发展问题》有感[J].小学数学（数学版），2012（11）.

[4]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002.

编辑 温雪莲