初中数学建模教学案例尝试

祖旭东

开展数学建模学习不仅是学习方式的改变，建模的过程可以为不同水平的学生提供体验成功的机会。数学建模既可以培养学生良好的数学观和方法论，又可以促进学生树立面向实际的眼光和观念，增强学生解决实际问题的能力。数学建模的教学对教师的成长和专业发展、更新教育观念、主动参与并推进素质教育有着越来越重要的作用，教师在教学中应抓好数学建模的启蒙教育。

数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象，数学课程应体现“问题情境—建立模型—理解—应用与拓展”，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展。根据初中生的身心发展水平和已掌握的知识，初中数学建模教学适宜起点低一些、步子小一些。低起点，就是根据学生的已有水平和课程标准要求，降低教学起点，便于全体学生都能真正进入到教学活动中。小步子，就是遵循由易到难、由浅入深、由单一到综合、由简单到复杂的原则，安排层次分明，梯度较小的教学情境，分散难点突出重点，引领学生沿着数学学习活动的台阶逐级而上，最终达到课程标准的要求。现对几个教学案例进行归纳总结。

一、借助数学建模降低问题难度

在数学建模教学中，教师需以教学对象的心理特点、认知基础和年龄特点为依据，先从低起点的数学模型着手，让学生易于掌握，促使他们整体参与学习。初中数学教师在具体的建模教学中，选择和使用的素材需贴近学生的实际生活，符合他们的认知能力和学习经验，利用这些生活现象引领学生建立数学模型，对于他们来说较为熟悉更加易于接受与掌握，从而提升教学效果。

案例1：三个相同的正方形，求证：∠1+∠2+∠3=90°。

此问题可编拟成在平直公路上的100米、200米、300米处分别有有三辆汽车，观察测速点，测得的视角之和为90°，那么测速点到公路有多远？只要教师做有心人，精心设计，课本中的数学问题大都可挖掘出模型，选择紧贴实际的问题深入分析，逐渐渗透这方面的训练，使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识。

案例2：如下图形，A、B是直线L同旁的两个定点，在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小。

从知识上来看，本题是考查“利用轴对称的性质和三角形三边关系”求两条线段和的最小值。从结果来看，在掌握这种模型之后就能在变形问题中应用，而这种将变式化归为已有模型或模式的做法和能力，正是数学学习最为重要的能力。综合这两方面，本题有较强的可推广性和教育性。

该模型应用非常广泛，可以分别改编成如下三题：

（1）正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点。连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称。连结ED交AC于P，求PB+PE的最小值。

（2）⊙O的半径为4，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。

二、借助数学建模化繁为简

在初中数学教学中，应从他们的已有知识出发，提升课堂教学的普适性，使其积极参与学习，才能促进学生建模能力的提高。初中数学教材中有不少普适性素材，教师可以此为依托，展开建模教学，提高学生的学习热情，并增强他们解决问题的能力。

案例3：平行线+平分线得到等腰三角形

变1.如图，矩形ABCD，E为BC中点，作∠AEC的平分线交AD于F点，AB=6，AD=16，求FD的长。

变2.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。求证：EO=FO。

试想一下如果没有“平行线+平分线得到等腰三角形”的几何模型，学生在解决这两个问题的时候会有多么困难。

二、借助数学建模渗透数学思想方法

数学建模属于一种思想方法，在初中数学課程教学中，教师不仅要帮助学生掌握数学知识，还应传授他们学习数学知识的技巧。建模教学应注重思想方法的传授，让学生真正掌握建模技巧、形成建模能力。因此，初中数学教师在兼顾知识教学的同时，应注重对学生能力的培养，增强他们的建模意识和能力，使其在学习过程中善于使用建模思想，并运用建模解决实际问题，真正实现学以致用。

案例4：某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师外出活动，每辆汽车至少有1名教师。现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下：

（1）共需租多少辆汽车？

（2）给出最节省费用的租车方案。

解析：某些现实问题中变量之间相互联系，函数来源于这类存在变量的问题，最终又会解决这类问题。这道题是人教版数学八下103页的问题二，该题最大价值就在于让学生明白为什么要建立函数模型解题，而不是其它的数学模型：所需费用受租车种类数量的影响，这两个量都是变量，变量之间就会存在函数关系，所以就建立函数模型来解决问题。当学生算出x的值为4和5后，学生分成两个阵营：一个阵营会亲自计算这两种方案的费用，比较后选出最优方案。另一个阵营会借助函数的增减性来判断哪种方案最优。两种方法解决这道题目都是可以的。教师此时再追问一句：如果方案较多能采用计算方法吗？一句换就能让学生明白建立函数模型的价值。

数学建模教学使学生走出了课本，走出了传统的习题演练。使他们进入到生活实际中，进入到一个更加开放的天地。使学生体验到了一个充满生命活力的课堂，这对于培养学生应用意识和创造精神是一个很好的途径。教师需充分发挥建模教学的优势和作用，才能培养学生学习兴趣和创造力，进而发展他们的思维能力、学习能力和应用能力。

【参考文献】

[1]冯永明，张启凡.对“中学数学建模教学”的探讨[J].数学教育学报，2000（02）

[2]沈文选.关于中学数学应用研究的几点思考[J].数学教育学报，2000（01）

[3]付军，朱宏，王宪昌.在数学建模教学中培养学生创新能力的实践与思考[J].数学教育学报，2007（04）

（注：本文系2017年河南省基础教育教学研究项目课题《基于数学建模核心素养的初中数学课堂教学研究》（立项编号：JCJYC17031910）研究成果。）