双轴压力下的压缩损伤变量

崔 崧, 吕 嫣, 李慧玲,3

(1. 沈阳师范大学 物理科学与技术学院, 沈阳 110034; 2. 沈阳师范大学 辽宁省射线仪器仪表工程技术研究中心, 沈阳 110034; 3. 电子科技大学 物理学院, 成都 611731)

0 引 言

分析含缺陷的材料在各种载荷作用下的力学响应, 是损伤力学重要的研究内容。 损伤问题连接着细观与宏观两端, 因此其研究方法也有宏观[1-4]和细观[5-8]之分, 而将宏观、细观的理论和方法综合在一起研究的方法, 即在细观结构与宏观力学行为之间建立某种联系, 是今后损伤力学发展的主要趋势。

复杂应力条件下的损伤问题一直是许多学者热衷解决和讨论的。对于闭合裂纹,裂纹面间的正应力既影响了材料的拉伸和压缩性能,又因为它还决定了在剪切作用下裂纹面间是否摩擦滑动[9-11],所以还影响了材料的剪切性能。研究裂纹面的正应力的影响,是解决相关问题的关键。

1 含裂纹单元体的单向拉伸本构关系

考虑一个如图1所示的含一条裂隙的无限大薄板,其中,裂隙长度为2a,沿如图x轴方向,在薄板远端沿y轴方向施加了均匀拉伸q。

再考虑一块在薄板的裂纹周围截取的代表性单元,如图2所示,裂纹对称位于该单元中央,该单元长度为2l,高度为2h。

图1 远端受均匀拉伸载荷的薄板Fig.1 Plate under remote tension

图2 中心含裂纹的代表性单元Fig.2 Element with crack in the center

平面应力下薄板内部的位移分量可用如下复变函数公式表示[12-13]

(1)

式中,E为材料杨氏模量,μ为泊松比,在图1的加载条件下,复变函数φ1(z)、Ψ1(z)的表达式为[12]

(2)

利用式(1)和式(2),可得图2中单元体边界y=h上各点沿y轴方向的位移为

该边界上的平均位移为

单元体沿y轴方向的总体线应变为

(3)

其中D2=2πa2/hl[(3-μ)f1+(1+μ)f2]为拉伸损伤变量。

图3和图4分别为在l/h=1的条件下,f1、f2和D2随a/l的变化曲线,其中取μ=0.333。

图3 f1,f2随a/l的变化曲线Fig.3 f1,f2-a/l relation curves

图4 D2随a/l的变化曲线Fig.4 D2-a/l relation curve

2 有侧压时的压缩本构关系

假设图2中的单元体是从图5所示的一个无限大薄板中截取的,其中薄板远端在x轴方向作用有均布压力q1,y轴方向作用有均布压力q2,根据文献[15],裂纹面间的正应力q3的表达式为

图5 远端受双轴压力的薄板Fig.5 Plate under remote biaxial compression

薄板由q3单独作用时,式(1)中的复变函数φ1(z)、Ψ1(z)的表达式为[12]

由上式,可求出单元体在q3单独作用时边界y=h处上各点沿y轴方向的位移

与式(3)类似,单元体在q2、q3共同作用下,在y轴方向的总体线应变为

(4)

与f1、f2类似,上式中的f3、f4是仅与a/l及l/h有关的无量纲的2个量,且

利用式(1)和q2、q3共同作用下复变函数φ(z)、Ψ1(z)的叠加形式,可得裂纹面上的位移

利用上式,由σy=Eεy,可得单元体在y轴方向的压缩应力应变本构关系为

(5)

图随a/l的变化曲线

图随q2的变化曲线

3 结 论

通过弹性力学理论平面问题的复变函数解法,分析了含裂纹的代表性单元在双轴压力的边界和裂纹面上的位移,再通过平均化的方法,得到了在此种加载条件下的压缩本构关系和压缩损伤变量。计算表明,裂纹面间的正应力在某些情况下对材料的压缩性能的影响不可忽视。这种分析方法还可应用于其他复杂加载情况的研究。