用轴测投影代替平行投影， 使直观图研究陷入死胡同

唐文虎

前言：十年前，我们开始了“数学实验室”的设计；八年前，我们申请成功由国家版权局颁发的“计算机软件著作权登记证书”；五年前，《高中数学图形语言》正式出版；三年前，“球形直观图及北极点位置的构图方法及使用模板”获国家发明专利……在此，我们发表最新的学术论证。

当前的问题

在中学数学教学中，人们一般用斜二测画法画多面体，用正等测画法画旋转体。那么，如果要画一个多面体与旋转体结合的图形，该用什么方法画呢？这个问题目前至少在认识上是模糊的，不仅国内如此，从现有的资料来看，美国也这样。于是，八仙过海，各显神通。图1（a）是国内很有代表性的一幅图：半球内接正六棱锥。

这幅图画的是多面体与旋转体相结合的几何体的直观图。相信很多教师都试图画过这样的图，无奈这种图既无法用斜二测画法画出，也无法用正等测画法画出。于是，对于这种严重影响学生空间想象力的图，大家都把它叫做示意图。

什么叫示意图？在立体几何中，示意图就是大体地画出几何体的形状、大小以及位置关系，突出重点，允许忽略细节。由于示意图不需要理由，可以各行其是，深受广大教师欢迎。在图1中，我们可以看到，平行投影中的重点——平行不变性已被破坏殆尽。因此，这样的示意图是无法对某些性质进行示意的（如平行线段）。

平行投影与轴测投影的区别

中学的立体几何直观图，主要是建立在平行投影基础上的。平行投影又分斜平行投影和正平行投影。斜二测画法画出的直观图是斜平行投影下的一种特殊方向的投影结果；正等测画法画出的直观图是正平行投影下的一种特殊方向的投影結果。轴测投影国家标准（GB/T4458.3-2013）推荐使用斜二测画法和正等测画法画直观图，于是，斜二测画法和正等测画法画直观图成了立体几何教学中的不二选择。

选择一个恰当的斜平行投影方向，可以得到斜二测直观图（如图2），所以斜二测直观图仅仅是几何体的一个影子，这一点不被人们所重视。

如果我们要画一个多面体与旋转体的综合体，用斜二测画法画多面体，又用正等测画法画旋转体，那么其结果必然是半是影子半是几何体的不伦不类的样子。这时得到传统结论：把空间图形实际的几何特征完全表示在平面上是不可能的。

注意到轴测投影对投影方向的规定：平行投影方向不平行于任何一个坐标平面。可见，轴测投影仅仅是平行投影的一部分。

但“生活经验告诉我们的圆锥是这样的（如图3）”这种表述已经表明了把空间图形实际的几何特征表示在平面上是可能的，只是按照现有的规则无法得到。这说明了我们原先的教材理论有不足或缺陷——这个缺陷就是用轴测投影代替平行投影时漏掉了“生活经验告诉我们的”投影方向。这个投影方向平行于空间直角坐标系O-xyz中的xOz平面，我们把这种投影称作T平行投影（如图4）。

对其他平行投影的排斥，使得中学数学直观图的研究进入死胡同

“其他投影我们基本不涉及”，这是一种固执。这种对其他平行投影的排斥，使得中学数学直观图的研究进入死胡同。

其实，“生活经验告诉我们的圆锥是这样的”已经承认了其他平行投影方式的存在。T平行投影就是这种投影的理论探索。

由于“T平行投影”不满足“投影方向与三个坐标平面都不平行（这是轴测投影的前提）”的要求，所以它被排斥在机械制图的轴测投影之外。正是由于这个原因，想在传统的理论体系内找依据始终不能如愿。

T平行投影+旋转，使得直观图研究柳暗花明

T平行投影只是平行投影的一种，它并不违背中学数学的宗旨。T平行投影方向：设平行投影线与x轴、y轴、z轴的夹角依次为α、90°、90°-α（α为锐角），则称这种投影方向为T平行投影方向。以半球内接正六棱锥为例，T平行投影画出的直观图一开始是如图5所示的样子。如果觉得这个图直观性不太好，可以围绕着旋转轴进行适当的旋转（如图6）。

可见，利用T平行投影+旋转，可以完美地解决几十年来存在于教材中的困惑（半球赤道椭圆短轴∶长轴=1∶5时，纵向伸缩系数≈0.98≈1）。

使用模板便捷作图

使用根据该理论设计的模板，可以便捷地作出旋转体以及多面体与旋转体的混合直观图（椭圆上带有旋转刻度，旋转很方便）等。

T平行投影的意义

轴测投影仅仅是平行投影的一部分。利用轴测投影去排斥其他平行投影，使得“生活经验告诉我们”的图形被排斥在外，从而使直观图研究进退无据，陷入死胡同。T平行投影正是这样一种被排斥的平行投影。使用T平行投影+旋转能够圆满地解决几十年来存在于中学数学教学中的难题；使用T平行投影+旋转原理设计出的模板能让学生便捷地画出相关直观图形，使得学生的空间想象力得到突破性提高。