基于高师数学专业学生能力培养的微积分思想方法应用探析

黎海英

[摘 要]高师数学专业的学生，除了要具备扎实的学科基础知识外，数学思想方法的培养尤为重要.随着新课程标准的逐步实践，在高考中，运用微积分思想方法解题的比重越来越大.这就意味着，微积分思想方法在数学方法论中的重要地位.求函数的单调性、极值、最值，以及曲线的切线问题和求证不等式等，用微积分思想方法会使问题化繁为简，迎刃而解.因此，强化高师数学专业学生微积分思想方法的培养，对未来教育教学改革的发展有着重要的意义.

[关键词]高师学生；数学方法论；微积分方法及應用

[中图分类号] G64 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2018）12-0070-03

百年大计，教育为本，而教育的核心要素是教师.有怎样的教师就会有怎样的教育.师范学校是培养人民教师的摇篮，抓好高校师范学生学科专业能力的培养，是教育可持续发展的基础.高师数学专业的学生，除了要有扎实的学科基础知识外，数学思想方法的培养尤为重要.17世纪下半叶，微积分的发现与发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，因为数学思想方法引入了若干极其成功的且对以后许多数学的发展起决定性作用的思想”.恩格斯曾说：“在一切理论成就中，未必再有像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作是人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一的功绩，那就是在这里.”微积分的创立，无论对数学还是对其他科学和技术的发展都产生了巨大而深远的影响.

一、微积分思想及其应用的深刻意义

微积分的创立，极大地推动了数学的发展，丰富了数学科学的思想宝库.随着微积分的创立及其理论基础的日渐完善，以微积分为基础的数学分析科学获得空前的发展，建立了许多数学分支，如微积分方程、积分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、微分几何、拓扑学、变分法等.同时，由于微积分在力学、天文学、物理学和其他科学技术中获得极其广泛的应用，因此也极大地促进了这些科学和技术的发展.

极限理论是微积分的理论基础，函数、导数、微分、积分则是微积分的基本概念、基本思想和基本方法.因此，微积分的思想方法包含着极限、导数和积分的思想方法.用这些思想方法来分析和解决数学问题和实际问题，就是把问题归结为求某个变量的极限、某个函数在某个定点的导数或某个函数在某一确定区间上的定积分.

微积分进入我国中学课堂是新课程改革的进步.2017年12月15日教育部考试中心下发的《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲》，就在数学学科（理科数学、文科数学）的考中指出，+函数与导数、函数单调性、极值、最值、导数不等式、导数与不等式的结合等均是核心考点.同时我们会发现，随着新课程标准的逐步实践，在高考中，运用微积分思想方法解题的比重越来越大.这就表明了，微积分思想方法在数学方法论中的重要地位.强化高师数学专业学生微积分思想方法的培养，目的就是培养适应未来教育教学改革发展需要的人才.下面从六个方面探析微积分思想在解题中的应用.

二、数学方法论——微积分思想方法的应用

（一）关于求函数的单调性问题.

研究函数f （x）在某区间的单调性问题，可根据导数有关的性质，通过分析导函数f′（x）>0（或f′（x）≥0）、 f′（x） <0（或f （x）≤0）来获证.

例1 已知函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）.

（1）求实数a、b的值；

（2）研究并确定函数f（x）的单调性.

分析 （1）由方程思想可知，欲求a、b的值，只需根据已知条件列出关于a、b的方程组即可.

∵ f （x）=x3-3ax2+3bx，

∴ f′（x）=3x2-6ax+3b.

∵ 函数f （x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），

∴ f （1）=-11，f′（1）=-12，即[1-3a+3b=-11，3-6a+3b=-12，]

解之，得a=1，b=-3.

（2）由（1）得 f′（x）=3x2-6x-9.

解方程f′（x）=0，得x1=-1，x2=3.

∵ 当x<-1或x>3时，f′（x）=3（x+1）（x-3）>0，

∴ 当x<-1或x>3时，f （x）是增函数.

∵ 当-1

∴ 当-1

∴ 当x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）时，函数f （x）是增函数；当x[∈]（-1，3）时，f（x）是减函数.

（二）关于求函数的极值问题.

求函数f（x）的极值问题，其实就是研究函数f′（x）在某一区间的单调性，在区间的单调拐点即极值点上，利用导数f′（x）=0的性质使问题获解.

例2 设函数f （x）=x3+bx2+cx（x∈R），g（x）=f （x）-f′（x）是奇函数.

（1）求实数b、c的值；

（2）求函数g（x）的单调区间和极值.

分析 （1）由方程思想可知，欲求b、c的值，只需根据已知条件列出并求解关于b、c的方程（组）即可.

∵ f （x）=x3+bx2+cx，

∴ f′（x）=3x2+2bx+c.

∴ g（x）=f （x）-f′（x）

=x3+bx2+cx-（3x2+2bx+c）

=x3+（b-3）x2+（c-2b）x-c.

∵ g（x）是奇函数，

∴ b-3=0，c=0. ∴ b=3，c=0.

（2）由（1）可知g（x）=x3-6x，

∴ g′（x）=3x2-6.

解方程g′（x）=0，得x1=-[2]，x2=[2].

∵ 当x∈（-∞，-[2]）∪（[2]，+∞）时，

g′（x）=3（x2-2）>0，

∴ （-∞，-[2]）和（[2]，+∞）是函数g（x）的单调递增区间.

∵ 当x∈（-[2]，[2]）时，g′（x）=3（x2-2）<0，

∴ （-[2]，[2]）是函数g（x）的单调递减区间.

∴ g（-[2]）=4[2]是函数g（x）的极大值，g（[2]）=-4[2]是函数g（x）的极小值.

（三）关于求函数的最大值和最小值问题.

求函数在某个区间的最值问题，其实与求函数的极值的思路相似.利用函数在某个点取得极值的性质f′（x）=0和函数在某个区间的单调性，即通过论证导函数f′（x）>0（或f′（x）≥0）、f′（x）<0（或f′（x）≤0），再结合f′（x）=0来获证.

例3 设函数f （x）=x3+3ax2-9x+3a，其中a为实数.

（1） 若x=1是函数f （x）的一个极值点，求函数f （x）在【-3，3】上的最大值和最小值；

（2）若f （x）在（-∞，-3】和【3，+∞）上都是单调增函数，求实数a的取值范围.

分析 （1）欲求f （x）在【-3，3】上的最大值和最小值，必须先求出函数的解析式，为此，只需求出a的值即可.由方程思想可知，欲求a的值，只需根据已知条件列出并解出关于a的方程即可.

∵ f （x）=x3+3ax2-9x+3a，

∴ f′（x）=3x2+6ax-9.

∵ x=1是f （x）的一个极值点，

∴ f′（1）=0，即

3+6a-9=0.解之，得a=1.

∴ f （x）=x3+3x2-9x+3，

∴ f′（x）=3x2+6x-9.

解方程f′（x）=0，即3（x2+2x-3）=0，得

x1=-3，x2=1.

∵ 在区间（1，3）上，f′（x）>0，

在区间（-3，1）上，f′（x）<0，

∴ x=1是f （x）在（-3，3）上的唯一极值点.

∵ f （-3）=f （3）=30，f （1）=-2，

∴ 函数f （x）在【-3，3】上的最大值是30，最小值是-2.

（2）∵ f （x）=x3+3ax2-9x+3a，

∴ f′（x）=3x2+6ax-9.

∵ f （x）在（-∞，-3】和【3，+∞）上都是单调增函数，

∴ f′（-3）≥0且f′（3）≥0，即

[27-18a-9≥0，27+18a-9≥0.]

解之，得-1≤a≤1.

∴ 实数a的取值范围是【-1，1】.

（四）关于求曲线的切线方程和解决与切线有关的问题

求曲线的切线方程或解决与切线有关的问题，一般是根据已知条件，利用过曲线切点时导函数f′（x）=0性质，列出并解关于切线未知系数的方程或方程组即可获解.

例4 已知[x=±1]是函数f （x）=ax3+bx2+cx的极值点，且f （1）=-1，求经过点P（1，-1）的曲线y=f （x）的切线方程.

分析 欲求经过点P（1，-1）的曲线y=f （x）的切线方程，必须先求出函数f （x）的解析式，为此，只需求出a、b、c的值即可.由方程思想可知，欲求a、b、c的值，只需根据已知条件列出并解关于a、b、c的方程组就行了.

∵ f （x）=ax3+bx2+cx，

∴ f′（x）=3ax2+2bx+c.

∵ [x=±1]是函数f （x）的极值点，

∴ f′（1）=0，f′（-1）=0，

即3a+2b+c=0， ①

3a-2b+c=0， ②

∵ f （1）=-1，

∴ a+b+c=-1 ③

联立解①、②、③，得[a=12，b=0，c=- 32] ，

∴ [f（x）=12x3-32x，]

∴ f[ ′（x）=32x2-32].

设经过点P（1，-1）的直线与曲线[f（x）=12x3-32x]相切于点Q（x0，f （x0）），则切线的方程为

y-f （x0）=f′（x0） · （x-x0），

y- [12x30-32x0] = [32x20-32]（x-x0）.

∵ 切线经过点P（1，-1），

∴ -1- [12x30-32x0] = [32x20-32]（1-x0）.

化简、整理，得[2x30]-[3x20]+1=0.

解关于x0的上述方程，得x0=1或x0= - [12].

将x0的两个值分别代入上述切线方程，得

y=-1或9x+8y+10=0.

∴ 所求切线方程为

y+1=0或9x+8y+10=0.

（五）關于求解不等式问题.

利用函数思想和导数思想解决不等式问题，其实就是先用函数思想分析不等式，把不等式的证明问题转化为函数单调性或函数值域的确定问题，然后用导数思想解决函数的单调性或函数值域的确定问题.

例5 求证：当x>-1时，ln（x+1）[≤x].

分析 欲证原不等式成立，只需证ln（x+1）-x [≤0]即可.

用函数思想考察和分析问题，欲证上述不等式成立，只需证函数f （x）=ln（x+1）-x的最大值是0就可以了.

设f （x）=ln（x+1）-x，则

f′（x）=[ 1x+1] -1=- [xx+1].

令f′（x）=0，解之，得x=0.

∴ x=0是函数f （x）=ln（x+1）-x的极值点，

∵ 当-10，

∴ 函数f （x）在（-1，0）上单调递增.

∵ 当0

∴ 函数f （x）在（0，+∞）上单调递减.

∴ x=0是函数f （x）的唯一的极值点，又是极大值点.

∴ x=0是函数f （x）的最大值点.

∵ f （0）=0，

∴ 函数f （x）在（-1，+∞）上的最大值是0.

∴ ln（x+1）-x ≤0.

∴ 当x>-1时，ln（x+1）≤ x.

（六）关于求解实际工作和生活中的最值问题.

求解实际工作和生活中的最值问题，实际上就是用导数思想研究实际问题中的最大值或最小值问题.解决此类问题，主要分为两大步，一是建立有关变量之间的函数关系式，这是模型建立问题；二是用导數思想研究所建立的函数的单调性和极值点，从而确定函数的最大值或最小值.

例6 某公司决定采取增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益.通过市场调查和市场预测，当对两项投入都不超过3百万元时，每投入x百万元广告费，所增加的销售额可近似地用函数f （x）=-2x2+14x 来计算；每投入x百万元技术改造费用，所增加的销售额可近似地用函数g（x）= - [13] x3 +2x2 +5x 来计算.

现该公司计划共投入3百万元用于广告投入和技术改造投入，请你为该公司设计一种资金分配方案，使该公司能获得最大的收益.（注：收益=销售额-投入）

分析 求解这类问题，关键是建立收益与投入之间的函数关系式，然后用导数思想确定函数的最大值或最小值（用料最省、消耗最少则是求最小值）.

设技术改造投入x百万元，则广告投入为（3-x）百万元.技术改造投入所增加的收益为f （x）=（-[13]x3+2x2+5x）-x，广告投入所增加的收益为g（x）=[-2（3-x）2+14（3-x）]-（3-x），所以，总投入所带来的总增加的收益为

F（x）=f （x）+g（x）=-[13]x3+2x2+5x-2（3-x）2+14（3-x）-3.

因为采取措施前的投入和收益都是常量，采取措施后的投入也是常量，所以该公司收益最大量就是投入3百万元后总增加的收益最大的时候.

化简、整理，得

F（x）=-[13]x3+3x+21.

∴ F′（x）=-x2+3.

令 F′（x）=0，解之，得x=[3]或x=-[3]（舍去）.

当0 ≤x<[3]时，F′（x）>0；当[3]

∴ 函数F（x）在【0，[3]）上单调增，在（[3]，3】上单调减.

∴ x=[3]是函数F（x）在【0，3】上唯一的极大值点.

∴ x=[3]是函数F（x）的最大值点.

∴ 当 x=[3]≈1.732时，F（x）取得最大值.

所以，该公司的资金投入方案应为：技术改造投入1.73百万元，广告投入1.27百万元.这样，该公司便可获得最大的收益.

三、结语

数学思想方法是数学的灵魂，是形成学生良好认知结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁.基础数学引入微积分的导数内容，不仅使数学内容增添了更多的变量内容，拓展了学习和研究的领域，更为重要的是在中学数学中引入了更为先进、更高层次的数学思想——微积分思想，这极大地拓展了思维的空间，使许多用初等方法无法解决的问题，用微积分的思想来分析和研究时便能迎刃而解.加强师范生数学思想方法——微积分思想方法的培养，是未来数学教育教学的需要，也是科学技术发展和人才培养的需要.数学和科学技术发展到今天，数学已经成为一切科学技术的工具.正如马克思所预言：“任何科学只有在成功地应用数学来描述自己的一切结论时，才算真正达到了完善的地步.”因此，学习和研究数学方法，对于现代技术的发展、完善、普及和应用都有极其重要的促进作用.

[ 参 考 文 献 ]

[1] 陈勇.从历史视角看高等教育的本质[J].大学教育，2018（9）：40-42.

[2] 教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[J].北京：人民教育出版社出版，2017.

[3] 教育部考试中心，2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲[Z].2017.

[责任编辑：金 铃]