激活认知结构 培养创新能力

2018-12-24 09:57:04 创新时代 2018年10期

余亚明

学生在学习知识、技能时,在头脑中贮存了大量的经验,即“相似块”。进行思维活动时若能借助这些已有的“相似块”,在外界信息进入大脑后自动耦合、接通和激活,即活化相应的数学认知结构,被激活的部分在认识结构中不断扩充、延伸,而重新建构起来的认知结构,又为接受新知识做好再次被激活的准备,这样不仅解决了数学问题,还能大大提高创新能力。

一、在概念教学中,活化学生的认知结构

恩格斯曾說过:“在一定意义上科学的内容是概念的体系。”千真万确,纵观代数、几何课本,都是由一个个概念有机结合而成的完整的知识体系。因此,在平时的概念教学中,教师切忌直截了当地就概念讲概念,应更多地从概念的形成和发展的过程中为学生提供思维情境,在观察、比较、概括,由特殊至一般,由具体到抽象,由感性到理性的过程中,活化学生的认知结构,促进其认知结构的“同化”和“顺化”,提高其自我评价能力。

1.掌握概念的内涵,完善学生的认知结构

概念的内涵就是概念所反映的对象的本质属性,学习一个新要领,只有帮助学生真正掌握要领的内涵,才能使学生的认知结构更完善。如在教学“数轴”这一概念时,先让学生观察直尺、秤杆、温度计等熟悉的实物,使学生在大脑中建立起一个待学的几何模型的表象,激活其“原认知结构”后,再引导学生抽象出数轴的概念:“把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。”画出图形结合概念再引导学生与三个实物对照,进一步帮助学生理解要领与实物之间的一般与特殊的关系。并强调数轴的本质属性,即“三要素”(原点、正方向、单位长度),最后再让学生判断:下列图形中是数轴的是( ),为什么?

实践证明,这样的概念教学设计,使学生不仅在建立新概念的过程中,易掌握新概念的本质属性,而且在新概念的应用中进一步弄清了概念的内涵,完善了学生的认知结构。

2.弄清概念的外延,激活学生的认知结构

概念的外延,是概念所确指的对象的范围,也就是概念所指的一切对象,而数学概念的外延随着问题情境的变化,往往不易被学生认清,从而导致学生在解题时迁移不畅,原认知结构不能活化。如果教师在概念教学中,有的放矢地激活原认知结构,就能克服自身思维定势和联想抑制的影响,启动原认知结构的“同化”和“顺化”的机能。如笔者在教一元二次方程的判别式这一概念时,与学生一起研究了书上的几道例(习)题,之后学生基本掌握了它的内涵:“一元二次方程有两个相等的实数根。”为了使学生进一步理解其外延,笔者设计了以下例题:

【例1】①已知是方程的两个实数根,且满足,求实数的值。

②若二次三项式是一个完全平方式,求实数的值。

③二次函数的最小值为零,求实数的值。

④已知的图象与轴只有一个公共点,求实数的值。

虽然,以上各题提出问题的情境各不相同,但它们的共同点都是依赖于,建立的一元二次方程,从而解得的值,学生通过这一组题的练习,不仅理解了一元二次方程、二次三项式、二次函数三者之间的微妙关系,而且还进一步弄清了一元二次方程根的判别式概念的外延,激活了根的判别式这个原认知结构,促进了认知结构的“同化”和“顺化”。

二、在例(习)题的教学中,培养学生的创新能力

例(习)题是初中数学教科书的重要组成部分,它是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带,是把知识化为能力的一座桥梁,例(习)题的教学过程是培养学生认知能力、促进学生认知结构的“同化”和“顺化”,从而实现新建构的主渠道。

【例2】如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE。

(1)求证:AF=BE;

(2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ。MP与NQ是否相等?并说明理由。

图1 图2 图3

(1)根据正方形的性质,可知AB=AD,∠D=∠BAE=90°,根据正方形和垂直的性质进行等量代换,可知∠DAF=∠ABE,根据全等三角形的角边角判定定理,可知△ABE≌△ADF。根据全等三角形对应边相等,证得AF=BE。

评注:解决第(2)题时,引导学生回归到第一题的本质,则问题迎刃而解。

(2)如图3,过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于点E。根据正方形和平行线的性质证明四边形AFPM和四边形BNQE均为平行四边形,根据平行四边形的性质证明AF=MP,BE=NQ,再用(1)问证得AF=BE,等量代换得证MP=NQ。

【例3】(1)如图4,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH为正方形,则△DBF的面积为—。

如图5所示,连接CF。因为∠CBD=∠ECF=45°,根据“同位角相等,两直线平行”,得CF∥BD,所以△BDF和△BCD为同底等高的三角形,故△DBF的面积等于△BCD的面积,即2×2÷2=2。

评注:解决第(2)题时,引导学生把它与第(1)题适度嫁接,把第(1)题的认知体系置换到第(2)题中,问题得以解决。

(2)正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图6所示,点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为—。

如图7,连接DB,GE,FK,则DB∥GE∥FK,

在梯形GDBE中,(同底等高的两三角形面积相等),同理,则=4×4=16。

总之,数学知识是互相联系、互相渗透的,有些题目所涉及的知识点单一,可以将这些习题与其他典型问题适度嫁接,就能活跃学生的思维,培养学生的几何直观意识,使学生形成较高的分析问题的能力,进而培养学生的创新能力。