托勒密定理巧解2018福建质检理数16题

江智如

1 试题呈现

2018年4月福建省质检卷理科数学第16题：在平面四边形ABCD中，AB=1，AC=√5，BD⊥BC，BD= 2BC，则AD的最小值为____.

本小题以平面四边形为载体，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查函数与方程思想、化归转化思想等，但计算量较大，考生无法选择合适的三角形及相应的边角关系，导致失分，属于难题，根据已知条件和图形结构，容易联想到托勒密（ Ptolemy）定理.

2 广义托勒密（Ptolemy）定理（或托勒密不等式）

在任意平面凸四邊形ABCD中，均有AB.CD+AD.BC≥ AC.BD，当且仅当AB，C，D四点共圆时，等号成立，它揭示了平面凸四边形中对边和对角线间的数量关系，广泛应用于解决几何与代数的问题.

3 解析过程

4 应用案例

5 应用感悟

广义托勒密（ Ptolemy）定理揭示平面凸四边形中对边和对角线之间的数量关系，在几何知识中起着独特的作用，因其兼具代数的数量关系，我们可把定理应用于代数领域，能起到“妙不可言”的作用，这不仅能培养学生数形结合的思想，更能提高学生自主探究的能力，促进学生逻辑推理、直观想象等数学素养的提升.

参考文献

[1]刘立伟.浅析托勒密定理在高中数学教学中的应用[J].中学数学研究（华南师范大学版），2013 （11）： 39-41

[2]吴昊.利用托勒密定理巧解三角形[J].中学数学研究（华南师范大学版），2016 （8）： 41-42

[3]叶添善.托勒密定理及其应用[J].中学数学，1983 （3）：37-38