因式分解中的易错点及应对策略

李莉

摘 要：多项式的因式分解是初中数学的重要知识点，也是学生学习中的几大雷区之一。在教学实践中，通过观察总结出学生易犯的八个错误，针对不同错误，提出了相应的解决策略。

关键词：因式分解；易犯错误；应对策略

多项式因式分解是初中数学的重要知识点，是解决数学问题的基本工具，在方程、函数等问题中有着广泛的应用。但在学习中学生经常是“掌握不难，做对不易”。在该知识的教学中，笔者总结了学生容易发生的几类典型错误，针对这些错误，提出了应对策略。

一、不理解因式分解的定义

错例1：x2-9+6x=（x+3）（x-3）+6x。犯此类错误的同学，很明显，没有理解因式分解的定义（把一个多項式分解成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解）。

应对策略：首先，教师应让学生理解因式分解的定义，区分整式乘法和多项式的因式分解，要求学生检查分解的结果是否符合“几个整式的积的形式”，不能出现像例1中“+6x”这样的“尾巴”。

二、忽略公因式，错提公因式

错例2：4x2-16=（2x+4）（2x-4）（正解：4x2-16=4（x2-4）=4（x-2）（x+2）），看似正确的因式分解，实则错误。这样的题目，学生拿到手往往先想到用公式法或者十字相乘法分解，做完还很满意，其实无论何种因式分解，第一步都应该是提取公因式，提取完后，结果的括号内才不会出现公因式。

错例3：9a2-81a2b2=a2（9-81b2）=a2（3-9a）（3+9a）（正解：9a2-81a2b2=9a2（1-9b2）=9a2（1-3a）（1+3a））。在本例中，学生提公因式仅考虑相同字母而忽略了系数，导致错误的发生。这类错误在因式分解问题中经常出现。

应对策略：教师应强调，对于多项式的因式分解，首先想到的应是提取公因式，然后再考虑其他方法。对于公因式的提取，学生应“一看系数”“二看相同字母或者代数式”“三看相同字母或代数式的指数”，三个方面缺一不可。在完成一个因式分解问题后，学生也应该检查结果是否分解彻底，特别是括号里是否还有公因式的存在。

三、因式分解公式运用不灵活

错例4：4x2-y2=（4x+y）（4x-y）（正解：4x2-y2=（2x+y）（2x-y）），

错例5：x2-2x+4=（x-2）2（不能在实数范围内因式分解）。

此类错误的原因是学生对乘法公式的掌握不牢固，很多同学记忆公式基于自己原有的认知。比如，他们认为（a+b）2就理所当然地等于a2+b2。

应对策略：在公式的教授中可以借助一些口诀，如完全平方公式可以用口诀“首平方，尾平方，两倍首尾在中央”，让学生理解记忆公式的特征。学生出现错误时，教师也要不断地、反复地纠正和强调。如此，学生才能改变原有的认知，将公式建构到自己的知识结构中去。只有掌握了公式学生方能灵活运用公式。

四、“十字相乘”错相乘

错例6：x2-x-6=（x+3）（x-2）（正解：x2-x-6=（x-3）（x+2））。

错例7：（x+2）（x+3）+x2-4=2x2+5x+2=（2x+2）（x+1）=2（x+1）2，（正解：（x+2）（x+3）+x2-4=2x2+5x+2=（2x+1）（x+2））。

十字相乘法是多项式因式分解中应用最为广泛的，但也是最为灵活的一种方法，怎样分解既要结合三个项每项系数的数值，还要注意它们的符号，往往类似的系数有不同的拆法。错例6中学生就是没有注意到一次项系数的符号。错例7虽然二次项和常数项分拆正确了，在最后书写的时候，由于习惯性思维又导致书写有误。

应对策略：在平时的教学中，教师要注意一题多变，让学生体会相同系数不同拆法，还要强调最后书写时十字两侧的项务必横着组合，决不可斜着组合。

五、因式分解结果不彻底

错例8：x4-1=（x2+1）（x2-1）（正解：x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x2+1）（x-1）（x+1）），错例9：（3a2+2a-8）2-（a2-2a-8）2=[（3a2+2a-8）-（a2-2a-8）][（3a2+2a-8）+（a2-2a-8）]=（2a2+4a）（4a2-16）]（正解：（3a2+2a-8）2-（a2-2a-8）2=（2a2+4a）（4a2-16）=8a（a+2）2（a-2））。

因式分解不彻底，是多数学生的通病。究其原因主要是学生的检验意识不强，因式分解的各种方法运用不灵活。

应对策略：教师应加强学生检验思想的培养，强调做完题目后，回头看看是否分解彻底，是否最简。学生一旦养成做题后检验的习惯，那么他们就不会出现上述错误，他们的运算能力也会有一个较高的提升，数学素养也会相应得到提高。

六、代换思想运用不灵活

错例10：（x2-1）2+9+6（1-x2）=x4+1-2x2+9+6-6x2=x4-8x2+16

正解：（x2-1）2+9+6（1-x2）=（x2-1）2-6（x2-1）+9=（x2-4）2=（x+2）2（x-2）2。

缺乏整体思想的学生往往只见树木不见树林，遇见高次方的复杂多项式就束手无策了，不能转化为基本问题来考虑。

应对策略：教师应加强学生代换思想的培养，平时要多注意接触类似的题目，提升学生的整体识别能力，加强代换思想的应用。

七、因式分解与化简求值混淆

错例11：化简（x-2y）（x+2y）-（x+2y）2=（x+2y）（x-2y-x-2y）=

-4y（x+2y）（正解：（x-2y）（x+2y）-（x+2y）2=x2-4y2-x2-4y2-4xy=-8y2-4xy）。

应对策略：教师要培养学生的审题能力，要让学生看清楚题目的要求，因式分解和化简是不一样的，强调因式分解是把一个多项式写成几个整式的积的形式，而化简是运用整式运算方法将复杂的式子化为简单的式子的过程。

八、实际问题中应用不灵活

因式分解的运用，对学生的要求较高，学生只有熟练掌握了因式分解的相关知识，才能将因式分解运用于实际，才能运用自如。笔者在授课中，遇到这样一道题目：若a、b、c为△ABC的三边长，试判断（a2+b2-c2）2-4a2b2的值是正数还是负数。大部分学生遇到该题，首先是恐惧、害怕，而后是放弃，根本没想到运用因式分解的知识解决问题。此时，教师应多鼓励学生，让他们结合问题去寻找思路，与已学知识挂钩。在教师的启发下，学生发现可以用因式分解的方法解决：（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2-2ab）（a2+b2-c2+2ab）=（a-b-c）（a-b+c）（a+b-c）（a+b+c），因为a、b、c为△ABC的三边长，所以b+c>a，a+c>b，a+b>c，a+b+c>0，所以（a-b-c）（a-b+c）（a+b-c）（a+b+c）>0，所以，（a2+b2-c2）2-4a2b2>0。

所以，（a2+b2-c2）2-4a2b2是正数。师生共同努力下完成了该题，此时，学生对于因式分解的理解拓宽到了应用的层面，教师可以再找一些类似的题目让学生练习，使他们体会因式分解的活学活用。

以上八种情况是笔者在教授“多项式的因式分解”过程中，归纳出的学生易犯错误以及应对策略。实际教学中，学生可能还会犯不同于以上的其他错误。作为数学教师，只要我们肯观察，肯思考，肯践行，一定能降低学生的易犯错误，提高他们的数学解题能力。

参考文献：

[1]王新艳.学习因式分解的困惑与对策[J].数学学习与研究，2011（4）.

[2]黄涛.初中生因式分解认知障碍分析及教学研究[D].广西：广西师范大学，2011.

[3]曹世林，付晓龙.因式分解中的常见错误剖析[J].初中数学教与学，2011（11）.

[4]章新杰.有效开展数学因式分解教学的策略研究[J].中学数学教学参考，2013（16）.

编辑 郭小琴