变式探究助力高三复习增效

蔡爱钦

随着信息技术的发展，网络上有关高考试题的信息也越来越丰富.如何在有限的时间内更有效地开展复习工作，提高复习课的效率，应付更加复杂多变的命题方向呢？笔者认为只有让学生更加扎实地掌握基本技能和基础方法，提升数学思维的素养，才能应对复杂多变的高考试题.从讲题到探题，力图通过自身课堂教学方式的改变，提高课堂教学效率，提高学生分析问题和解决问题的能力.

平面向量是数学的重要概念和工具，利用它可有效解决很多问题.向量具有几何和代数双重性，与几何和代数关系密切.平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它在立体几何、三角、数列等各种知识模块中都可能出现，是连接众多知识的桥梁，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用.因此，本文通过一道向量高考题的探究和延伸，揭示向量方法的内在本质，提高学生对向量知识的认识.

分析本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了向量的模、數量积，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，体现了数形结合、分类讨论、化归转化等思想.由两定点A，B满足OA|=OB|=OA·OB=2，学生容易得到△OAB为等边三角形.整题中较难分析的是点集{P|→OP=λ→OA+μ→OB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ

R）该怎样转化.

向量的解法从大方向讲有两种，即代数法和几何法，因此此题可以尝试从这两方向来解题.

法1（代数法）通过建立直角坐标系得到O，A，B点的坐标，再根据坐标运算求出点P的横坐标x和纵坐标y，联立方程组解出λ和μ，再去绝对值得到4个二元一次不等式组，画出平面区域求面积.

法2（代数法）方法l 容易想到，但去绝对值得到4个二元一次不等式组画出平面区域会浪费很多时间，因此可以建完系后求OP·OA=4λ+2μ，→OP·→OB=2λ+4μ，两式相加、相减求出λ+μ和λ-μ，再根据λ+μ和λ-μ的有界性得到x，y的范围，即可求出面积.

法3（几何法）首先考虑λ>0，μ>0的情况.因为λ+μ≤l，结合基本定理几何意义，可知点P的轨迹是三角形AOB及其内部，再讨论其他情况，即可画出点P的轨迹为一矩形，矩形面积就是点集所表示的区域的面积.

法4（特殊值法） 这是一道选择题，当一道题解不出来时，可以考虑利用选择题的解题技巧，即临界值法，先考虑|λ|+|μ|=l的情况.学生对λ+μ=l很熟悉，知道此时点P在线段AB上，再通过对称性很容易画出点P的边界图形，从而可以算出该区域所表示的面积.

这道向量题涉及了向量求解最常用的几种方法，给我们解向量题提供了思路和方向.数学学习本身也是一个探究的过程，所以，如果我们对条件进行改变，又能得到一些什么结论呢？

平面向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法是一种值得学生花费时间、精力去掌握的一种方法，学好向量知识有助于理解和掌握与之有关联的学科.向量在高考中灵活多变，题型新颖，但只要在平时的学习中，多去探究，多去挖掘，掌握处理问题的常用方法，抓住问题的本质，定能在处理向量问题时做到事半功倍.