利用洛伦兹力分量式巧解2018年全国卷压轴题

崔琰 马朝华

摘要：2018年全国高考理综Ⅰ卷和Ⅱ卷的第25题均以带电粒子在电场和磁场的复合场中的运动为命题背景，加入了繁杂的数学计算的考查.运用“洛伦兹力分量式”的方法进行巧解，规避了复杂的数学计算，可供广大教师和同学参考.

关键词：压轴题；洛伦兹力分量式；带电粒子运动

作者简介：崔琰（1982-），男，天津人，博士研究生，海淀区物理教研员，研究方向：中学物理教学；

马朝华（1969-），女，北京人，中学高级教师，海淀区物理教研员，研究方向：中学物理教学.

2018年全国高考理综Ⅰ卷和Ⅱ卷的第25题，即物理压轴题，以带电粒子在电场和磁场的复合场中的运动为命题背景，加入了繁杂的数学计算考查.这两道题的难点在于带电粒子在交替存在的电场和磁场中的运动情景，非常难以理解，且常规解法还需要用到平面几何等数学知识，非常繁琐.本文运用“洛伦兹力分量式”的方法对此题进行巧解，规避了复杂的数学计算.

1洛伦兹力分量式方法

电荷量为q某一带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，其速度大小为v，方向垂直于磁场方向，则该带点粒子所受的洛伦兹力的大小f = qvB，方向垂直于B 和v.带电粒子在此运动过程中，在y方向上的分速度vy 产生沿x方向的洛伦兹力fx；在x方向上的分速度vx产生沿y方向的洛伦兹力fy，如图1所示.

由此可以得到，洛伦兹力x方向上的分量式[1]为fx=qvyB①

根据牛顿第二定律可知fx=max=mdvxdt②

联立①、②两式可以得到qBvydt = mdvx ③

对③式两侧同时积分可得qBy=m·Δvx

同理，可得 qBx=m·Δvy

由此可以得出，某一带电粒子在磁场中运动时，其x方向的位移与y方向的速度变化量Δvy成正比；同理，其y方向的位移与x方向的速度变化量Δvx成正比.

【题目1】（2018全国Ⅰ卷）25.如图2，在y > 0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y < 0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场.一个氕核11H和一个氘核21H先后从y轴上y=h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向.已知11H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.11H的质量为m，电荷量为q.不计重力.求

（1）略.

（2）磁场的磁感应强度大小；

（3）21H第一次离开磁场的位置到原点O的距离.

解：（1）过程略.得x=233h④

（2）11H在电场中运动时，由牛顿第二定律有竖直方向速度大小为vy=2ah=2qEhm⑤

利用洛伦兹力分量式有：qBx=m·2vy⑥

联立④、⑤两式可得

B=m·2vyqx=mq·2qEhm·23h3=6mEqh

（3）21H电场中的加速度大小为

a1=qE2m=12a⑦

由牛顿第二定律有21H竖直方向速度大小为

vy1=2a1h=22vy⑧

利用洛伦兹力分量式有：qBx1=2m·2vy1⑨

联立⑦、⑧、⑨式，并与⑥式比较，可得

x1=2m·2vy1qB=2m·2vyqB=2x

所以21H第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为Δx=x1-x=（2-1）233h.

【题目2】（2018全国Ⅱ卷）25.一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图3所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行.一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出.不计重力.

（1）略

（2）求该粒子从M点入射时速度的大小；

解：（1）略.

（2）根据牛顿第二定律和运动学公式可知，粒子到达电场与磁场交界处时水平方向速度大小为：

vx=qEm·l′v0⑩

利用洛伦兹力分量式有

qBl=m·2vxB11

联立⑩、B11两式有：qBl=m·2qEm·l′v0，

求解可得：v0=2El′Bl.

这两道考题中，带电粒子首先在电场中做类平抛运动， 之后又在磁场中做圆周运动，这对于平面几何知识的掌握要求很高，如果采用常规解法的话，数学推导过程相当复杂，学生在考场中很难在短时间内正确推导出结果.若采用上述洛伦兹力分量式的推论， 便可以规避复杂的数学运算过程，简单方便地给出正确的解答.

该解题思路与2008年江苏高考物理压轴题和第17届中学生物理竞赛复赛第5题的解题技巧非常相似.竞赛试题慢慢渗透到高考试题中，这与高考试题的深化改革目标是相一致的.同时，在高考中，各学科的相互渗透也在不断加强，其中，物理学科对数学运算能力的要求在不断加强.对于可以减轻计算量、增大思考量和思维深度的题目，广大教师应加大研究力度[2]，不斷推陈出新，在常规解法的基础上，找出更加简便快捷的解题方法.经常回顾历年高考试题以及竞赛中的中低档题目，可以对解题能力起到巨大的促进作用.

参考文献：

[1] 陈国良.运用洛伦兹力分量式的推论巧解物理难题[J]. 物理教师，2010 （6）：63.

[2] 崔琰，任艺，李筱娜. 2015年北京高考物理压轴题的评析与思考[J]. 物理教学，2015（10）：72-73.

[3] 崔琰，马朝华. 2015 年天津高考物理压轴题第2问的巧解[J].物理教学探讨， 2015， 33（12）： 41-42.