行星变速箱振动信号的线性量子信息熵特征

丁闯， 冯辅周， 张兵志,2， 吴守军

(1.陆军装甲兵学院 车辆工程系, 北京 100072； 2.北方特种车辆研究所, 北京 100072)

0 引言

由于行星传动具有质量轻、体积小、传动比大、承载能力强、传动效率高等优点，被广泛应用于多种军用装备和民用装备中[1]。然而行星变速箱的复杂结构决定了其振动响应异常复杂，并存在明显的非线性、非平稳性，且故障响应微弱，因此提取其振动信号的有效特征一直是学者们研究的重点和难点。

信息熵能够有效地检测振动信号时间序列的动力学特性，因此，信息熵在特征提取及故障诊断中的应用越来越受到人们的重视。目前，时频熵(TFE)、样本熵(SE)和排列熵(PE)在机械系统特征提取及故障诊断中的使用较为普遍，且取得了很好的效果。然而，TFE对中心频率较为敏感，而对边频信号幅值敏感性较弱[2]；SE的计算过程尤为繁琐，耗时耗力，且抗干扰能力差[3]；PE虽然具有算法简单、计算速度快等优点，然而，其在子序列升序排列时仅考虑幅值的相对大小，没有考虑实际幅值带来的影响，造成了其对时间序列的幅值不敏感，限制了其发展[4]。

近年来，量子理论取得了快速发展，已经成为极具革命性的理论。量子理论与传统的信息表达方式存在较大差异，具有优异的性能，能准确地表达很多客观存在的规律[5]。在各学科领域的大力研究下，量子理论的应用也逐渐扩展到各个领域，并在通信、信息加密、数据优化，图像处理、快速检索等领域取得了崭新的成就[6-7]。

鉴于TFE、SE、PE的不足以及量子理论全新表达方式的优势，本文将量子理论引入信息熵，提出一种结合信息熵和量子理论的特征提取新方法——线性量子信息熵。首先简要介绍量子理论，建立振动信号的多量子位系统；然后在振动信号多量子位表达的基础上提出量子信息熵的基本原理；最后，以行星变速箱为例，将故障模拟试验台采集到的正常、故障等5种状态振动信号进行线性量子信息熵计算，并与TFE、SE、PE进行对比。

1 量子理论

量子理论在近年来取得了广泛的研究成果，成为一种行之有效的信息处理工具，同时推动着相关领域的快速发展。借助量子理论描述微观世界的全新思想及其特殊的状态表达形式，使其在振动信号的处理方面取得了有效应用[8-10]。

1.1 量子理论基础

量子比特是量子理论体系中描述量子世界的基本单位，其数学表达式为

|φ〉=a|0〉+b|1〉，

(1)

式中：|0〉和|1〉为量子比特的量子基态；系数a和b为量子态概率幅值，为实数或复数，概率幅值的模平方为量子概率，即|a|2和|b|2分别表示量子基态|0〉和|1〉出现的概率，满足归一化条件：

|a|2+|b|2=1.

(2)

由(1)式和(2)式可知，量子比特描述的状态是不确定的，其表示的是两种不同概率幅值的两个基态组合而成的各种状态，即不同的系数a和b组合可表示振动信号的不同状态。

1.2 线性量子比特

振动信号的量子表达是进行进一步数据处理的关键。下面推导振动信号的线性量子表达，用于描述振动信号的状态。

假设振动信号为X={x(i),i=1,2,…，N}，使用公式

(3)

对信号X的每个采样点元素x(i)进行归一化处理，得到y(i)∈[0,1]。

参考文献[11]，提出振动信号线性量子表达的数学式，将振动信号从时域空间映射到量子空间，从而用于分析振动信号的状态。归一化后的振动信号线性量子表达为

(4)

1.3 振动信号多量子位系统

在行星齿轮箱振动信号处理中，往往需要同时对多个采样点进行处理，对单个采样点量子化不能满足要求，因此需要对振动信号多个采样点量子化。

若振动信号的每个采样点都使用量子比特进行量子化，则一组l个采样点的振动信号Yl可由l个量子位描述，其中第i个量子位的状态为|y(i)〉=ai|0〉+bi|1〉，该振动信号可用l个量子比特的直积表示：

(5)

式中：|ia〉为量子系统(振动信号)|Yl〉的第i个态矢(在多量子位系统中，由于基态由多位符号组成，通常将基态称之为态矢)；wi为态矢|ia〉的概率幅值，概率幅值的模平方|wi|2为态矢|ia〉的概率，根据量子理论的归一化条件，wi应满足：

(6)

为了更清楚地表达这一过程，假设振动信号序列X={x(i),i=1,2,…，N}，取振动序列中相邻3个采样点为例说明多采样点的量子化过程。设相邻3个采样点为X3={x(h-1),x(h),x(h+1)}，h∈[2,N-1]，使用(3)式对整个序列X的每个采样点进行归一化并记为Y，此时X3归一化后为Y3={y(h-1),y(h),y(h+1)}，可将其生成含3个量子位的量子系统，其态矢为|ib〉∈{|000〉,|001〉,…,|111〉}。

结合单采样点的线性量子化，对于3个量子比特系统，共有8个态矢，则振动信号的3个相邻采样点可表示为

(7)

由(7)式可知，任意相邻3个采样点都可进行线性量子化，量子化过程中wi为对应态矢|ib〉的概率幅值，而|wi|2为对应态矢|ib〉出现的概率，显然，其满足归一化条件，由于概率为线性变化，(7)式亦称为振动信号的线性量子化。

为了更直观地反映量子化的实质，X3进行的量子化过程可表示为图1所示。

2 线性量子信息熵

“熵”的概念最早被Shannon用于描述信息论中信息的不确定性，同时给出了信息熵的数学表达式，定义一个不确定的概率分布信息熵为

(8)

式中：pk为第k类事件出现的概率，信息熵大小可定量描述概率系统的平均不确定程度；n为事件数量。

2.1 线性量子信息熵基本原理

结合振动信号多量子位表达和信息熵的概念，提出线性量子信息熵，其基本原理如下：

1)振动信号归一化。设振动时域信号时间序列X={x(i),i=1,2,…，N}。根据(3)式对振动信号时间序列进行归一化，得归一化后时间序列为Y={y(i),i=1,2,…,N}，y(i)∈[0，1]。

2)相空间重构。对时间序列Y进行相空间重构，得到矩阵Y0为

(9)

式中：j=1,2,3,…,K；m为嵌入维数；τ为延迟时间；K为重构矩阵中重构分量的个数，K=N-(m-1)τ；重构矩阵中每一行的Y0(j)为一个重构分量。根据文献[4]中的参数优化方法，在相空间重构时，使用当前最为有效的参数优化方法，即使用互信息法确定延迟时间，使用伪近邻法确定嵌入维度。

3)重构分量线性量子化。将重构矩阵中的每个重构分量使用多量子比特线性量子化，态矢个数n=2m，得

(10)

式中：wj,k为态矢|ib〉的概率幅值，概率幅值的模平方|wj,k|2为态矢|ib〉的概率。

4)计算各态矢概率。计算所有重构分量中同一态矢的概率和，得出各态矢出现的概率为

(11)

式中：k=1,2,3,…,n.

5)计算量子信息熵。将各态矢出现的概率作为事件出现的概率，计算信息熵为

(12)

(13)

根据Shannon信息熵概念，量子信息熵Hq(X)表示时间序列X量子化后各态矢出现概率的随机性。Hq(X)越大，说明各态矢出现的概率越均匀，即各态矢出现的概率接近；反之，Hq(X)越小，说明各态矢出现的概率相差较大。对于行星齿轮传动，Hq(X)越大，说明其运行状态越稳定，即越接近正常状态；Hq(X)越小，说明行星齿轮箱运行状态越不稳定，即偏离正常状态，出现异常。

由前述基本原理可知，线性量子信息熵算法是基于时间序列各采样点实际值的统计特性而提出的一种算法，具有很强的适用性。Hq(X)变化能够反映并放大时间序列的微小变化，线性量子信息熵算法流程如图2所示。

2.2 与PE算法对比

由线性量子信息熵的基本原理可知，其计算过程与PE算法相似，然而量子信息熵特殊的计算方式能够克服PE计算中的不足，具有很大优势[12]。相对线性量子信息熵，PE存在以下不足：

1)PE在评估时间序列幅值等级的差别时敏感度较低。假设由3个采样点组成的3个重构分量分别为X(1)={x11,x12,x13}，X(2)={x21,x22,x23}，X(3)={x31,x32,x33}，其值如图3(a)、图3(b)所示。按照PE的升序排列规则，图3(a)中X(1)、X(2)、X(3)为同一种符号序列，均为{1,2,3}；图3(b)中X(1)、X(2)、X(3)为同一种符号序列，均为{1,3,2}，而其实际值却相差很大，从而严重影响其最终提取特征的精度。

2)PE抗干扰能力较差。假设3个重构分量X(1)、X(2)、X(3)，其值如图3(c)所示。按照PE的升序排列规则，X(1)、X(2)、X(3)为3种符号序列，分别为{1,2,3}、{1,3,2}、{3,1,2}，而此3个重构分量的实际值却相差很小，因此时间序列中微弱噪声即能影响重构分量的排序结果，进而影响提取特征的准确性。

量子信息熵的计算摒弃了按照大小排列原则，充分考虑了其时间序列的实际值，对各态矢的概率计算尤为精确，因此线性量子信息熵能够克服排列熵存在的不足，具有很大优势。

3 线性量子信息熵的应用

为了检验上述量子信息熵在复杂行星齿轮箱特征提取中的应用效果，本文使用试验台采集到的振动信号验证其实用性，并使用TFE、SE、PE与线性量子信息熵对比，进一步证明其优越性。

对量子信息熵的有效性验证使用某型行星变速箱多种健康状态的振动信号。故障模拟试验台如图4所示，主要由驱动电机、传动箱、行星变速箱、负载电机、转速转矩仪组成。在实际运行中，通过液压油路控制行星变速箱内部离合器和制动器的分离和结合，实现行星变速箱不同的传动比。行星变速箱3挡时动力传递原理如图5所示，其中K1为复合行星排，K2、K3为简单行星排。

在行星变速箱特征提取过程中，齿轮裂纹是一种常见故障，若不及时发现将扩展成断齿，进而产生严重的后果；而齿轮裂纹故障信号微弱，对于齿轮裂纹的故障识别一直是一个难点，因此进行齿轮裂纹故障识别意义重大。为了验证本文所提方法的优越性，使用裂纹故障用于检验本文方法针对复杂行星变速箱特征提取的有效性。试验中，振动传感器粘贴在行星齿轮箱的箱体上，采样频率设定为20 kHz. 试验共进行了5种健康状态下的数据采集，分别为齿轮正常、K1小行星轮裂纹、K1大行星轮裂纹、K2行星轮裂纹、K3太阳轮裂纹，4种齿轮裂纹故障均为局部故障，即齿轮上某个轮齿含有裂纹，裂纹由线切割加工产生，裂纹处于轮齿根部，裂纹沿齿厚方向的深度为2 mm，沿齿宽方向贯穿整个轮齿齿宽。驱动电机输入转速为1 500 r/min；两侧负载电机加载扭矩为900 N·m. 每个样本采样时间设置为1 s，每种状态采集50个样本，共250个样本。

3.1 试验数据分析

行星变速箱3挡时上述5种状态采集到振动信号时频如图6所示，其中图6(a)～图6(e)分别代表前文所述的5种状态。由5种状态的频域波形可知，各状态下的频率成分特别复杂，且相差甚微，故障信息并不明显，因此仅根据此时的频域分析很难判断行星齿轮箱的运行状态[13]。

使用本文提出的线性量子信息熵提取5种状态的振动信号特征。根据文献[4]中的参数优化方法，针对5种状态，在相空间重构时使用当前最为有效的参数优化方法，即使用互信息法确定延迟时间τ=1，使用伪近邻法确定嵌入维度m=3. 计算每个样本(N=20 000)的线性量子信息熵，结果如图7所示。由图7可知：线性量子信息熵能够清晰地分辨5种状态的信号，且齿轮正常时振动信号熵值最大，说明其振动信号对应的各态矢分布更均匀；在出现故障后，由于故障产生的频率变化及冲击对其振动信号有较大影响，造成某些态矢概率增加、某些态矢概率减少，态矢分布均匀性变弱，导致其线性量子信息熵值减小。不同故障对态矢分布的影响不同，因此具有不同熵值，各状态下的熵值保持稳定，说明线性量子信息熵具有较好的稳定性。由此可见，线性量子信息熵能够作为判断行星变速箱状态的特征。

3.2 与TFE、PE、SE结果对比

由于本文研究的行星变速箱结构复杂，与目前存在的很多行星齿轮箱试验台有较大差异，其不仅有3个行星排，行星轮个数较多、轴承较多，且有很多个定轴部分传动，使得信号成分异常复杂。齿轮发生裂纹故障时对信号的影响较小，使用当前很多方法没有很好的效果。而信息熵作为统计信息无序程度的特征量，对于复杂系统的微小故障特征提取较为有效，目前存在的TFE、PE、SE对于简单行星齿轮箱的特征提取均有很好的效果。此外，TFE、PE、SE和本文所提线性量子信息熵都是由信息熵发展的特征提取方法。因此，为了证明本文提出的线性量子信息熵对复杂行星变速箱的的优势，使用当前较为有效的TFE、PE、SE信息熵方法提取5种状态的振动信号特征，计算结果如图8～图10所示。

由图8～图10可知：TFE、PE、SE对复杂行星变速箱运行状态提取的特征波动较大、稳定性差，且某些状态的特征值存在交叉，仅能用于判断某些运行状态，并不能作为准确判断行星变速箱5种运行状态的有效特征；而相对于TFE、PE、SE，线性量子信息熵对于此复杂行星变速箱的特征提取更为有效，且稳定性好。因此，将线性量子信息熵可作为判断行星变速箱状态的特征。

4 结论

本文结合量子理论和信息熵，提出了一种特征计算的新方法——线性量子信息熵，并将其用于行星变速箱的特征提取，用于判断行星齿轮箱的运行状态。得出主要结论如下：

1)线性量子信息熵作为一种新的特征提取方法，该方法原理简单、计算快捷，用于提取行星变速箱的运行特征，具有良好效果。

2)由于线性量子信息熵在计算态矢考虑了实际值，在原理上比PE更有优势。对比结果表明，本文提出的线性量子信息熵在行星变速箱运行状态振动信号特征提取中更有优势。

3)线性量子信息熵作为全新的特征提取方法，目前尚处于研究完善阶段，对于行星变速箱中多个齿轮同时出现多种裂纹或故障的应用效果，有待下一步研究。

4)量子理论作为极具变革的理论，将其引入振动信号分析中将发挥其巨大的潜力，也必将为振动信号分析方法提供更多新思路。