对有阻力时小球上抛的运动图像的分析与探讨

肖敏

摘   要：文章通过研究小球在受恒定阻力及小球所受空气阻力与速度大小成正比时的竖直上抛运动，定量计算了小球上升和下降时的速度、加速度、动能、重力势能、机械能，并对以上物理量作出图像，进行分析与探讨。

关键词：数理融合;小球上抛;运动图像

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2019）10-0058-4

在江苏省某中学高三年级学情检测的物理试卷中有这样一道选择题：

质量为m的小球从地面以初速度v0竖直向上抛出，已知小球所受的空气阻力与速度大小成正比，下列图像（图1）分别描述了小球在空中运动的加速度a、速度v随时间t的变化关系和动能Ek、机械能E（选地面为参考平面）随小球距离地面高度h的变化关系，其中可能正确的是（       ）

这道题可以运用排除法选出答案C选项。但是小球上抛过程的运动情况如何，学生还是存有疑惑。因此，笔者通过数学方法对有阻力时小球上抛的运动过程进行了详细的计算与分析，以期能描述出其运动图像。

1    小球所受空气阻力恒定时

质量为m的小球从地面以初速度v0竖直向上抛出，假设小球所受的空气阻力为恒力，到达的最高点离地面高度为H，则小球的速度、加速度、动能、重力势能、机械能情况如何？

设竖直向上为正方向，求加速度与速度，则表达式为：

则小球上抛及下落时的动能、重力势能、机械能隨h的变化图像分别为：Ek-h图（如图4）、Ep-h图（如图5）及E-h图（如图6）。

2    小球所受空气阻力与速度大小成正比时

质量为m的小球从地面以初速度v0竖直向上抛出，假设球所受的空气阻力与速度大小成正比，到达的最高点离地面高度为H，则小球的速度、加速度、动能、重力势能、机械能情况又如何呢？

2.1    小球下落过程

（1）求小球下落过程的速度[1]

研究小球从空中下落时，以竖直向下为正方向，选开始下落时为计时起点，小球受重力mg和空气阻力f=kv，v为小球速度，k为一常量，小球动力学方程为[1]：

（2）求小球下落过程的加速度

对速度表达式求导，可以得出加速度的表达式：

2.3    画出小球上抛及下落的图像

取小球质量m=0.1 kg，k=0.1 N·S·m-1，g=9.8 m·s-2，v0=10 m·s-1，运用Maple软件，画出小球上抛及下落时的v-t图像（如图7）和a-t图像（如图8）。

3    结   语

在高中物理教学中，小球在有阻力的情况下的竖直上抛运动是学生学习的一个难点。笔者基于数学与物理深度融合的理念，通过公式推导与图像绘制，初步展示了小球的运动情况，使学生能够深入了解速度、加速度、能量之间的定量关系。物理学习不仅仅停留在解出题目的答案，更在于培养学生自主思考与深度研究的精神与素养，这在高中物理教学中也是至关重要的。

参考文献：

[1]漆安慎，杜婵英.力学[M].北京：高等教育出版社，1997：74-75.

[2]陈挹平，柳涛.有阻力时小球做竖直上抛运动的解[J].金陵职业大学学报，2000（1）：32-34.

（栏目编辑    罗琬华）