数据辅助的时域自相关与互相关联合频偏估计方法

摘 要：针对数据辅助下突发数据通信中频偏估计精度低和复杂度高的问题，提出了一种数据辅助的时域自相关与互相关联合频偏估计方法。首先，推导出基于通用数据帧结构的频偏估计克拉美劳界（CRB），同时引入一个形式上更为简单的近似CRB作为估计算法的性能界; 然后，在自相关估计中，利用自相关算子和复信号指数化近似得到具有较大范围和较低信噪比门限的自相关算法;在互相关估计中，借鉴自相关估计原理，利用互相关算子获得兼顾低复杂度和高精度的互相关算法。仿真结果表明，所提方法可估计出接近符号速率一半的载波频偏且达到了近似CRB性能;与经典的M&M算法相比，所提方法的估计精度提高了5倍，且从实乘运算来看还具有与导频长度相关的线性复杂度，适用于突发数据通信的工程应用。

关键词：导频符号辅助调制;时域相关;频偏估计;克拉美罗界;突发数据通信

中图分类号：TN911.23文献标志码：A

Data-aided time-domain joint auto-correlation and cross-correlation

frequency offset estimation method

WANG Sixiu*

（College of Computer Science and Engineering， Xinjiang University of Finance and Economics， Urumqi Xinjiang 830012， China）

Abstract： Considering the problems of low accuracy and high complexity of frequency offset estimation of data-aided burst data communications， a data-aided time-domain joint auto-correlation and cross-correlation frequency offset estimation method was proposed. Firstly， a general data frame structure based frequency offset estimation Cramer-Rao Bound （CRB） was derived， and a CRB with simpler form was introduced as the performance bound of the estimation algorithm. Then， in the auto-correlation frequency offset estimation， a auto-correlation algorithm with large range and low signal-to-noise ratio threshold was obtained using the auto-correlation operator and the exponent approximation of a complex signal; in the cross-correlation frequency offset estimation， a cross-correlation algorithm with low complexity and high accuracy was obtained by means of the cross-correlation operator and the principle of auto-correlation estimation. The simulation results show that， the proposed method can estimate the carrier frequency offset as large as half of the symbol rate with a near CBR performance， and compared to the classic M&M （Mengali & Moerlli） algorithm， its estimation accuracy is improved by five times and it has linear complexity related to the pilot length according to real multiplication operations， which is suitable for the engineering applications of burst data communications.

Key words： pilot-symbol-assisted-modulation; time-domain correlation; frequency offset estimation; Cramer-Rao Bound （CRB）; burst data communications

0 引言

近年來，突发数据通信广泛应用在光通信、卫星通信和无人机通信等前沿领域中[1-3]。通信双方的相对移动会产生多普勒频移，大多普勒频移会导致同步接收机中附加较大频偏而使接收机的误码性能恶化，最终导致通信质量的下降， 因此，设计一个能够兼顾宽范围、高精度和低复杂度而无需引入Turbo迭代技术的频偏估计算法是当前的一个研究热点。

为了矫正上述大频偏，传统的算法可以分为数据辅助、非数据辅助和判决引导三大类[4]， 其中，后两类算法的信噪比门限和复杂度均比第一类算法的高， 因此，在突发数据通信中，普遍使用第一类算法。该类算法一般利用已知的数据符号对频偏进行估计，这些数据符号通常被称作导频符号。这些导频符号可以分插到数据帧的不同位置而形成不同的帧结构[5-6]。文献[5]提出了一种用于第二代数字视频广播标准的数据帧结构，即将一定长度的导频符号分成若干块再分插到数据帧中;而文献[6]提出了一种连续导频流和离散导频符号分插到数据流中的帧结构，即导频符号辅助调制帧结构。在文献[6]的基础上，本文设计了一种通用的数据帧结构。

另一方面，数据辅助型算法又可以分为频域和时域两类算法，其中，第一类是基于搜索周期图的峰值来锁定频偏的，而第二类是基于求解相关运算的相位增量来锁定频偏的。一般而言，第一类的估计范围比后者要大，而第二类的估计精度比前者要高。为了弥补这两种算法各自的缺陷，文献[7]提出了一种时频域联合的载波同步算法，基本原理是将频域旋转平均周期图和时域相关和结合一起使用，从而获得了较大的估计范围和较高的估计精度，但却带来了较高的复杂度和多参数最优配置的问题。进一步地，时域数据辅助型算法还可以进一步分为基于单个导频块的自相关算法[8-10]和基于多个不相交导频块的互相关算法[11-13]。在相同信噪比和导频开销下，自相关算法的信噪比门限和复杂度更低些，但互相关算法的估计精度更高些。

鉴于以上的问题，本文提出了基于数据辅助的时域自相关与互相关联合频偏估计算法。首先，通过设置延迟系数获得可估计较大频偏的自相关算法，再利用复信号的指数化近似原理对其简化;然后，为了进一步提高估计性能，同时借鉴自相关估计原理，设计了一种具有低复杂度和高精度的互相关算法; 最后，将本文算法与同类的经典算法进行了比较。

1 系统模型

假设数据在加性高斯白噪声信道下进行单载波突发传输，且具有理想的符号定时，经过匹配滤波和采样后，接收端的第k个符号可以表示为：

r（k）=s（k）exp（j（2π f Tsk+θ））+n（k）;

k=0，1，…，U-1（1）

其中：f和θ分别为载波频偏和相位;Ts为符号周期;s（k）为能量归一化的传输信号;n（k）为均值0、方差σ2=N0/2的复高斯随机变量;LT为如图1所示的通用数据帧结构的帧长。下面给出该通用数据帧结构的设计过程。

首先，将一定长度的导频序列分成P块，且每块的长度为Li（i∈{1，2，…，P}）; 然后，再将第一个导频块放置于一定长度的数据帧的帧头，剩下的导频块按照一定的导频间隔依次插至其帧中和帧尾。因此，该数据帧被分成了P-1块，且每块长度为Mi（i∈{1，2，…，P-1}）;该导频间隔的长度Di=∑ i（Li+Mi）（i∈{1，2，…，P-1}）。对于数据輔助型算法，需要定义一个去调制序列，即：

z（k）r（k）s（k）=exp（j（2π f Tsk+θ））+ζ（k）;

k∈κ（2）

其中：（·）表示取共轭运算;噪声项ζ（k）=n（k）s（k）;κ表示包含所有导频符号的采样时刻集，即κ={0，…，L1-1，…，∑P-1i=1（Li+Mi），…，∑P-1i=1（Li+Mi+LP-1）}。

2 两步时域相关的频偏估计算法

2.1 基于通用数据帧结构的克拉美劳界（CRB）推导

首先，给定一个包含待估参数的矩阵α=[f θ]T。在已知α==[f^ θ^]T条件下，接收信号r{r（k），k∈κ}的概率密度函数为：

ρ（r）=∏L1-1k=0ρ（r（k））∏L1+L2+M1-1k=L1+M1ρ（r（k））…

∏∑P-1i=1（Li+Mi+LP-1）k=∑P-1i=1（Li+Mi）ρ（r（k））=∏k∈κρ（r（k））（3）

为了计算矩阵的克拉美劳界（Cramer-Rao Bound， CRB），这里先给出当=α时的Fisher信息矩阵[14-15]，即：

F=E ln ρ（rα）f2E2 ln ρ（rα）fθ

E2 ln ρ（rα）θfE ln ρ（rα）θ2（4）

其中：E{·}表示求均值运算;（·）（·）表示求偏导运算;ln（·）表示取自然对数运算。

式（4）中，F的逆矩阵的第1行第1列和第2行第2列元素分别是载波频偏和相位的CRB。本文的重点是求载波频偏的CRB。首先给出对应的单个接收导频信号的概率密度函数，即：

ρpil（r（k））=12πσ2 exp-r（k）-s（k;）22σ2=

12πσ2 exp-r（k）2+s（k;）22σ2·

expRe{r（k）s（k;）}σ2（5）

其中：s（k;）s（k）exp（j（2πf^Tsk+θ^））;σ2=N0/2为噪声方差;Re{·}表示取幅角的实部运算。将式（5）代入到式（3）中，再对两边取对数，可得：

ln ρ（r）=1σ2∑k∈κ1Re{r（k）s（k;）}=

1σ2∑k∈κ1Re{r（k）s（k）exp（-j（2πf^Tsk+θ^））}=

1σ2∑k∈κ1Re{z（k）exp（-j（2πf^Tsk+θ^））}

ln ρ（z）（6）

其中，z={z（k），k∈κ}为式（2）所示的去调制序列。再将式（6）考虑到式（4）中，得：

F=E ln ρ（zα）f2E2 ln ρ（zα）fθ

E2 ln ρ（zα）θfE ln ρ（zα）θ2=

1σ24π2T2s∑ k∈κk22πTs∑ k∈κk

2πTs∑ k∈κk∑ k∈κ1（7）

此时，需要结合∑ni=1i2=[n（n+1）（2n+1）]/6和∑ni=1i=[n（n+1）]/2这两个代数公式来求解式（7）的第1行第1列的求和项，经计算可得：

∑ k∈κk2=（L1-1）L1（2L1-1）6+

∑Pp=2Lp{[∑p-1i=1（Li+Mi）][∑p-1i=1（Li+Mi）+Lp-1]}

Ff f（m，Li，Mi）（8）

再考虑导频间隔Di=∑ i（Li+Mi），式（8）也可以等效为：

∑ k∈κk2=（L1-1）L1（2L1-1）6+L2[D21+D1（L2-1）]+

…+LP[D2P-1+DP-1（LP-1）]Ff f（Li，Di） （9）

可以看出，关于频偏的Ff f大小与导频间隔Di的平方和导频长度的三次方均成正比。

最后，结合式（7），根据元素Ff f和对应CRB的倒数关系，可得：

CRB（f）=18π2T2sFf f（m，Li，Mi）1Es/N0=

18π2T2sFf f（m，Li，Di）1Es/N0; i∈κ（10）

另外，值得注意的是：不妨假设采样时刻集κ={0，1，…，LT-1}，作对称化处理，得到κ′={-（LT/2），…，0，…，LT/2}，再考虑到式（7）中，∑ k∈κk≠0变成了∑ k∈κ′k=0。这一结果表明，对于数据辅助型估计算法，其频偏估计与相位估计可以解耦合，即两者不再相互影响。

接下来，讨论一个特殊的数据帧结构，即对于任意的导频块i和数据块j，均有Li≡L、Mj≡M。基于这种特殊结构的频偏估计CRB[16]可以表示为：

CRBs（f）=

32π2T2sPL[（P2M2-1）-（M2+2ML）]1Es/N0（11）

同时，由式（9）和式（10）可以得到基于该结构的真实频偏估计CRB，即：

CRBs1（f）=

3/（Es/N0）2π2T2sPL[2（P2M2+2P2ML+P2L2-1）+Α]（12）

其中，Α2+（L-1）（2L-1）+（L+M）[（L+M）（1-3P）+3（P-1）（L-1）]。实际中，r（M/L）1（即有效数据长度远远大于导频长度），则有Α<0且Α

为了进一步讨论这两种CRB的关系，取CRBs1（f）与CRBs（f）的比值，即：

ηCRBs1（f）CRBs（f）=

（P2M2+2P2ML+P2L2-1）-（M2+2ML）2（P2M2+2P2ML+P2L2-1）+Α≈

1（2-3/L）， P=1

1[2-3/（P+1）]， P>1 （13）

由式（13）可知，當P=1且L较大时，η≈0.5;当P>1且λ=M/L1时，分两种情况，即：P=2时，ηmax≈1;P1时，ηmin≈0.5。因此，由文献[16]得到的频偏估计CRB仅仅是CRBs1（f）的一个近似。这一点将在后文的仿真中得到进一步验证。

2.2 基于数据辅助的自相关与互相关联合频偏估计算法

考虑数据辅助的方法，首先给出基于数据辅助的自相关与互相关联合频偏估计算法的实现流程，如图2所示。其中，自相关算法（包括L&R（Luise & Reggiannini）算法[8]）和互相关算法的区别在于是否使用了不相交的导频块， 而这两种算法都是基于数据辅助的相关运算而得到的。

根据图2所给出的算法实现流程，在自相关频偏估计中，采用 “延迟系数为1”的大频偏自相关算法和“平滑系数为N”的低门限简化L&R算法。首先，给出利用图1所示的第一个导频块的自相关算子，即：

R（α）=1L1-α∑L1-1-αi=0z（i）z（i+α）; 1≤α

其中：α为有效的延迟长度;L1为第一块导频的长度。z（·）为式（2）所示的去调制序列，也可以等效为z（i）=exp（j（2πfTsi+θ））+ζ（i）=exp（j（2πfTsi+θ））[1+γ（i）]≈exp（j（2πfTsi+θ））·exp（j Im{γ（i）}），这里γ（i）ζ（i）exp（-j（2πfTsi+θ）），Im{·}表示取虚部运算。当信噪比较高时，约式成立。将其考虑到式（14）中，得：

R（α）=∑L1-1-αi=0exp（j2πfTsα+j arg{Im{γ（i+α）}}-

j arg{Im{γ（i）}}）/（L1-α）（15）

其中arg{·}表示取幅角运算。式（15）求和项的第一项与时刻i无关且包含待估频偏，第二项是噪声项。同样地，当信噪比很高时，忽略噪声项，再对两边取幅角运算，得：

f^=12πTsα arg{R（α）};f^1Ts≤12α，1≤α

从式（15）和式（16）可以发现，有效延迟长度α除了能够平滑噪声之外，还限制了其估计范围。为了获得尽可能大的范围，假设α=1，从而得到了一个频偏初估值，即：

f^1=12πTs arg{R（1）};f^1Ts≤1/2（17）

为了获得较低的门限，这里引入一个经典的L&R自相关算法[8]，其频偏估计子为：

f^′=1π（N+1）Ts arg{∑Nα=1R′（α）};

f^′Ts≤1/（N+1），1≤N

其中，N为平滑噪声系数，一般取N≈L1/2[4]。R′（α）表示由式（17）得到的频偏初估值补偿后的去调制信号的自相关值求和再加权的结果，即：

R′（α）=1L1-α∑L1-1-αi=0z1（i）·z1（i+α）（19）

其中z1（i）=z（i）exp（-j（2πf^1Tsi））。若信噪比较高时，去调制信号z（i）的幅度近似为单位1（见式（2）），再将其指数化并作近似处理，得z（i）z（i）exp（j arg{z（i）}）≈exp（j arg{z（i）}）。同理， z1（i）≈exp（j arg{z1（i）}）。所以，式（19）近似为：

R′（α）≈

1L1-α∑L1-1-αk=0exp（j[arg{z1（i+α）}-arg{z1（i）}]）

R1（α）（20）

比较式（19）和式（20）可知，利用指数化近似的方法消除了复乘运算，而带来的arg{·}操作可由查找表获得。将式（20）考虑到式（18）中，可得另一个频偏估计值，即：

f^2=1π（N+1）Ts arg{∑Nα=1R1（α）};N∈L13，L12（21）

再根据图2所给出的算法实现流程，在互相关频偏估计中，本文设计了一种简化的互相关算法。首先，给出利用图1所示的任意两两不相交的导频块的互相关算子，即：

R（Di）=∑l∑nz2（l）z2（Di+n）;

Di=∑P-1i=1（Li+Mi），i={1，2，…，P-1}，l，n∈κ（22）

其中，z2（l）≈exp（j（2πΔfTsl+θ））·exp（j arg{Im{v（l）}}），这里v（l）γ（l）exp（j2πf^1Tsk）exp（-j（2πf^2Tsk））， Δff-f^1-f^2。将其代入到式（22）中，得：

R（Di）≈exp（j2πΔfTsDi）∑l∑nexp（j2πΔfTs（n-l））·

（∑l∑nexp（j（arg{Im{v（Di+n）}}-

arg{Im{v（l）}}）））（23）

实际中，比较流行的导频处理插入方式是，将一定长度的导频序列等分成P块，且每块长度LiL。因此，采样时刻l，n∈{0，1，…，L-1}，式（23）可以进一步近似为：

R（Di）≈exp（j2πΔfTsDi）sin（πΔfTsL）sin（πΔfTs）2·

（∑L-1l=0∑L-1n=0exp（j（arg{Im{v（Di+n）}}-

arg{Im{v（l）}}）））（24）

其中，中间项始终为正，对剩余频偏的估计没有影响，可忽略;最后项是噪声项，对剩余频偏的估计有一定的影响。仍假设较高的信噪比，式（24）对两边取幅角，得到剩余频偏的估计值，即：

Δf^i=arg{R（Di）}2πTsDi;

Δf^iTs≤12Di，Di=∑P-1i=1（L+Mi）（25）

為了降低式（25）的复杂度，借鉴自相关估计的思想（见式（14）），将l=n考虑到式（22）中，可得：

（Di）=∑nz2（n）z2（Di+n）;

n∈κ，Di=∑P-1i=1（Li+Mi）（26）

再用式（26）的（Di）取代式（24）的R（Di），两边取幅角，得到另一个剩余频偏的估计值：

Δf^i′= arg{（Di）}2πTsDi;

Δf^i′Ts≤12Di，Di = ∑P-1i=1（L + Mi）（27）

从式（24）和式（26）可预见，对应于式（27）的频偏估计算法的复杂度要比对应于式（25）的低得多。若将式（25）对应的算法称作全部互相关算法，则式（27）对应的可称作简化互相关算法。

3 仿真与结果分析

3.1 验证CRBS与CRBS1之间的关系

在2.1节中，从理论上分析了CRBs（f）与CRBs1（f）之间的关系，即前者是后者的一个近似。为了验证该结论的正确性，图3给出了这两种CRB的比值η随着导频块数P、数据长度与导频长度的比值λ的变化情况。事实上，由式（13）可知，这两种CRB比值消除了各自的信噪比项。但为了保证仿真结果的可靠性，这里仍假设在较高的信噪比下，因此，本次仿真中Es/N0=10dB。从图3中可以看出，当P=1时，对于导频长度L=20来说，由式（13）得比值η≈0.54与理论值0.5非常接近;当P>1时，对于不同的λ，比值η均随着P的增加而增加。且对于较大的λ，这种的趋势会远离最小值0.5而逼近最大值1.0，这一点与前文的分析（见式（13）及其讨论）相符。由于CRBs（f）相对性能损失较小且形式上更为简单，因而，后文将它作为频偏估计算法的理论性能界。

3.2 时域自相关与互相关频偏估计

仿真中采用正交相移键控（Quadrature Phase Shift Keying， QPSK）调制，每个信噪比下频偏估计均方根误差由100000次独立实验统计平均得到。假设实际频偏fTs=0.4，导频块数P=2，数据块数P-1=1，导频长度L1=L2L=20，数据长度M1=400。

在自相关频偏估计中，设计了联合自相关算法（即式（17）和式（21））。该算法将利用图1所示的第一个导频块。L&R算法[8]的平滑系数N=1（估计大频偏），L&W（Lovell & Williamson）算法[9]的平滑系数N=L/2=10，联合自相关算法的平滑系数α=1、N≈L/3L/3+[L/3]3=8。图4给出了这三种算法的频偏估计性能曲线，同时也给出了对应的CRB即CRBs（P=1）。从图4可知，当Es/N0>2dB时，设计的联合自相关算法的估计精度能够达到CRBs（P=1）;当Es/N0≥15dB时，L&W算法的估计精度才能够达到CRBs（P=1）;而当Es/N0>4dB时，L&R（N=1）算法的估计性能最差，原因在于此时的平滑系数并没有对噪声起到多大的平滑作用。

在自相关频偏估计的基础上，简化的互相关频偏估计将使用图1所示的第1个导频块、第1个数据块和第2个导频块。接下来比较简化互相关算法与全部互相关算法的估计性能，图5给出了这两种算法的频偏估计性能曲线，同时也给出了对应的CRB即CRBs（P=2）。由图5可以看出，全部互相关算法的估计精度达到了CRBs（P=2）。与该算法相比，当Es/N0<5dB时，提出的简化互相关算法有一定的性能损失，但小于1dB;而当Es/N0>5dB时，提出的简化互相关算法几乎没有性能损失。基于此，后文中将采用简化互相关算法作为互相关频偏估计的算法。

接下来讨论简化互相关算法的估计性能，图6给出了自相关算法与简化互相关算法的频偏估计性能曲线。可见，相对于自相关算法，当Es/N0≥10dB时，简化互相关算法的估计精度提升超过了一个数量级。所以，结合这两种算法即可得到最终的频偏估计算法。

最后，从性能和复杂度上，将本文算法与已有的经典M&M（Mengali & Moerlli）算法[10]进行比较。

图7给出了当Es/N0=11dB时，这两种算法的频偏估计性能曲线。从图7可以发现，这两种算法的估计范围相同;但从估计精度上看，本文算法比经典的M&M算法高很多。另外，假设一个复乘运算量相当于四个实乘、两个实加的运算量。对于本文算法和M&M算法，对应的实乘次数分别为8L-4和12L2-3L。可见本文算法的复杂度是线性的，而M&M算法的复杂度与L2成正比。

4 结语

针对导频符号辅助调制技术的突发数据通信载波同步，本文提出了一种数据辅助的时域自/互相关联合频偏估计方法。首先，在导频符号辅助调制帧结构的基础上，设计了一种通用的数据帧结构。基于此结构，推导出频偏估计的真实克拉美劳界（CRB），并引入和讨论了一个形式上更为简单的近似CRB。然后，在自相关频偏估计中，设计了一种可估计较大的频偏并保证较低的信噪比门限的联合算法;在自相关估计的基础上，提出了一种简化的互相关算法来进一步提高估计精度。仿真结果表明：本文所提的算法能够估计出接近于符号速率一半的大频偏;同时，它还具有较低的复杂度，更加适用于突发数据通信及其工程应用。

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This work is partially supported by the Natural Science Foundation of Xinjiang Uygur Autonomous Region （2017D01A23）， the Youth Project of Scientific Research Program in Universities of Xinjiang Uygur Autonomous Region （XJEDU2017S036）.

WANG Sixiu， born in 1981， M. S.， associate professor. His research interests include signal analysis， data processing.

收稿日期：2019-04-10;修回日期：2019-08-05;录用日期：2019-08-13。

基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金资助项目（2017D01A23）;新疆维吾尔自治区高校科研计划青年项目（XJEDU2017S036）。

作者简介：王思秀（1981—），男，江苏徐州人，副教授，硕士，主要研究方向：信号分析、数据处理。

文章编号：1001-9081（2019）12-3622-06DOI：10.11772/j.issn.1001-9081.2019040584