从近年高考题谈机械振动和机械波的复习教学

张杰

[摘   要]“机械振动与机械波”是高中物理比较难的知识，高考中考生的得分率较低。如何在有限的时间里，让学生较好地掌握并熟练运用相关知识分析解答“机械振动和机械波”问题，值得广大师生重视。文章结合高考试题进行分析探讨。

[关键词]机械振动;机械波;复习教学

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0039-03

“机械振动与机械波”是选修3-4模块中的一个重要内容，是力学完整体系中的一个有机组成部分，对将来选择与物理有关的大学专业的学生而言，机械振动和机械波是应该掌握的知识。机械振动和机械波，是在时间上和空间上都表现出周期性的一种运动，因而对学生的空间想象能力和抽象思维能力的要求较高。这类题目具有较强的区分度，因此每年高考中都要考查。

我们不妨先看看2019年物理高考大纲对这部分知识的要求：

[主题 内容 要求 机械振动与机械波 简谐运动 Ⅰ 简谐运动的公式和图像 Ⅱ 单摆、周期公式 Ⅰ 受迫振动和共振 Ⅰ 机械波、横波和纵波 Ⅰ 横波的图像 Ⅱ 波速、波长和频率（周期）的关系 Ⅰ 波的干涉和衍射现象 Ⅰ 多普勒效应 Ⅰ 实验 实验一：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度 ]

从上表可看出，振动图和波动图都是Ⅱ级要求。复习这一部分内容时，重点抓图像，难点在图像。当然波的干涉虽然是Ⅰ级要求，却是难点。结合近五年全国卷对机械振动和機械波的考查，可以有的放矢地进行复习备考。

一、紧扣课本，厘清基本概念

[例1]（2018年全国Ⅱ卷第34题）【物理 选修3-4】（1）声波在空气中的传播速度为340 m/s，在钢铁中的传播速度为4900 m/s。某同学用锤子敲击一铁桥的一端而发出声音，经空气和桥传到另一端的时间差为1.00 s，则桥长为_______m，若该波在空气中的波长为λ，则它在钢铁中波长为_______。

【答案】 365      [24517λ]

解析：设在钢铁中的传播时间为[t1]，在空气中的传播时间为[t2]，桥长为s。则[s=340t2=4900t1]，而[t2-t1]=1 s

[t1≈0.073 s]，代入得[s≈365 m]

由λ=[vf]，频率不变，可知[λ钢λ =4900340]，得[λ钢=24517λ]

点评及复习要点：此题虽然是教材级别的基础题，但却蕴含了机械振动和机械波的基本概念。复习时，应重新梳理机械波的各物理量及相互关系。机械振动在介质中的传播形成机械波，因此机械波形成的条件有两个，即机械振动和介质。介质中的点是依次做受迫振动，重复波源的振动形式，所以波的频率由波源决定，都等于波源的振动频率。而波传播的快慢由介质决定，正如例1所示，声波在空气中的传播速度为340 m/s，在钢铁中的传播速度为4900 m/s。同一波源发出的波，从一种介质进入另一种介质，频率不变，在不同介质中的波速不同，造成波长不同，课本上就给出了0 ℃时，空气、水、铜、铁、玻璃、松木、软木、橡胶等介质中的声速。通过例1，进一步认识[v=λf]背后的含义。

[例2]（2018年全国Ⅲ卷第34题）（1）一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t = 0和t = 0.20 s时的波形分别如图1中实线和虚线所示。已知该波的周期[T>0.20 s]，下列说法正确的是 （    ）。

A. 波速为0.40 m/s

B. 波长为0.08 m

C. x=0.08 m的质点在t=0.70 s时位于波谷

D. x=0.08 m的质点在t=0.12 s时位于波谷

E.若此波传入另一介质中波速变为0.80 m/s，则它在该介质中的波长为0.32 m

【答案】A C E

点评与复习要点：1.机械振动时间上的周期性，向外传播形成机械波就表现为空间上的周期性。因此，波的题目经常有多解，但加上限制条件，比如例2的周期[T>0.20  s]，多解又变为有限解。2.由此时的质点位移，推知彼时的质点位移，是波动问题的基础性问题。

[例3]（2018年全国Ⅰ卷第34题）（2）一列简谐横波在[t=13 s]时的波形图如图2（a）所示，P、Q是介质中的两个质点。图（b）是质点Q的振动图像。求

（ⅰ）波速及波的传播方向;

（ⅱ）质点Q的平衡位置的x坐标。

解析：（ⅰ）由波形图可知，波长[λ=36] cm。由振动图可知，周期T=2 s，故波速为[v=λT=18] cm/s。

由振动图像可知，[t=13] s时，Q向+y方向运动。

由波速方向与质点振动方向之间的关系可知，波沿-x方向运动。

（ⅱ）设质点P、Q在平衡位置的x坐标值分别为xP、 xQ。

由图2（a） 可知，在[x=0]处，[y=-12A=Asin（-30°）]，故[xP=30°360°λ=3] cm。

由图（b）可知，在[t=0]时，质点Q处于平衡位置，

经历[Δt=13s]，其振动状态沿-x方向传播到P点处，则有：xP - xQ=[vΔt=6 cm]。

由以上方程解得：xQ = 9 cm。

点评与复习要点：由于波动图像包含了所有质点某一时刻的信息，而振动图像包含了某一质点所有时刻的信息，将这两个图像联合起来，互通信息，是考查学生对振动图像和波动图像意义理解程度的有效方式。

二、数形结合，深化认识

[例4]（2016年全国Ⅱ卷第34题）（2）一列简谐横波在介质中沿x轴正向传播，波长不小于10 cm。O和A是介质中平衡位置分别位于[x=0]和[x=5 cm]处的两个质点。 [t=0]时开始观测，此时质点O的位移为[y=4 cm]，质点A处于波峰位置;[t=13] s时，质点O第一次回到平衡位置;[t=1] s时，质点A第一次回到平衡位置。求：

（ⅰ）简谐波的周期、波速和波长;

（ⅱ）质点O的位移随时间变化的关系式。

【答案】（ⅰ）[T=4 s]  ，[v=7.5 cm/s，]  [λ=30 cm]。

（ⅱ）[y=0.08sinπ2t+56π]或者[v=0.08cosπ2t+13π] 。

解析：（ⅰ）[t=0] s时，A处质点位于波峰位置。

[t=1]s时，由A处质点第一次回到平衡位置可知[T4=1 s]，[T=4 s]。由[t=13]  s时，O第一次到平衡位置，[t=1 ]s时，A第一次到平衡位置，可知波从O传到A用时[23 s]，传播距离[x=5] cm，故波速[v=xt=7.5 ]cm/s，波长[λ=vT=30] cm。

（ⅱ）设[y=Asin（ωt+φ0）]，可知[ω=2πT=π2rad/s]。

又因为[t=0] s时，[y=4 cm];[t=13] s，[y=0]，

代入振动方程计算得A= 8 cm，再结合题意得[φ0=56π]。故[y=0.08sinπ2t+56π] 或者[y=0.08cosπ2t+13π] 。

點评及复习要点：用振动图像描述振动，与之对应的是三角函数。数形结合的考题中，让学生用数学工具表达物理规律是较高要求，也是物理学发展较成熟的标志。在必修1和必修2中，多数情形下，都是用公式表达物理规律，图像用于辅助分析问题，在机械振动和机械波里却是相反的情形，振动图像和波动图像用得较多，振动方程很少写，波动方程不做要求，在第二轮复习时，不妨试做一两个，以提升学生的思维能力，但不能过多。

[例5]（2015全国Ⅰ卷第34题）（2）甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿x轴正向和负向传播，波速均为v=25 cm/s，两列波在t = 0时的波形曲线如图3所示。求：

（ⅰ）t = 0时，介质中偏离平衡位置位移为16 cm的所有质点的x坐标;

（ⅱ）从t = 0开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为16 cm的质点的时间。

解析：（ⅰ）t = 0时，在x = 50 cm处两列波的波峰相遇，该处质点偏离平衡位置的位移为16 cm。两列波的波峰相遇处的质点偏离平衡位置的位移均为16 cm。

从图线可以看出，甲、乙两列波的波长分别为λ1=50 cm，λ2 = 60 cm    ①

甲、乙两列波波峰的x坐标分别为：

xl = 50 + k1λ1，k1 = 0，±1，±2，…②

x2 = 50+k2λ2，k2 = 0，±1，±2，…③

由①②③式得，介质中偏离平衡位置位移为16 cm的所有质点的x坐标为：

x=（50+300n） cm     n = 0，±l，±2，…④

（ⅱ）只有两列波的波谷相遇处的质点的位移为-16 cm。t = 0时，两波波谷间的x坐标之差为：

[Δx′=50+（2m2+1）λ22-50+（2m1+1）λ12] ⑤

式中，m1和m2均为整数。将①式代入⑤式得[Δx′=10（6m2-5m1）+5] ⑥

由于m1、m2均为整数，相向传播的波谷间的距离最小为[Δx0=5 cm] ⑦

从t = 0开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为-16 cm的质点的时间为：

[t=Δx0′2v] ⑧

代入数值得t = 0.1 s

点评及复习要点：此题考查波的叠加，频率不同的两列波，要表达随着时间推移的叠加结果，必须写出一般表达式，属于较难、较新颖的题目。而要写出所有处于波峰（或波谷）的质点的平衡位置坐标，用到了空间的周期性。两列相向传播的波的叠加，如果波的频率不同，经过足够长的时间，会出现怎样的结果呢？可以让学生自行探讨。

三、重视实验，由感性认识到理性思考

[例6]（2019年全国Ⅱ卷第34题）（1）如图4，长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方[34] l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约为2°）后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图5中，能描述小球在开始一个周期内的x - t关系的是

[答案]：A

点评与复习要点：该题取材于课本的学生实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度，考查了振动图像、单摆、周期公式几个知识点。

[例7]（2019年全国Ⅲ卷第34题）（1）水槽中，与水面接触的两根相同细杆固定在同一个振动片上。振动片做简谐振动时，两根细杆周期性触动水面形成两个波源。两波源发出的波在水面上相遇。在重叠区域发生干涉并形成了干涉图样。关于两列波重叠区域内水面上振动的质点，下列说法正确的是 。

A.不同质点的振幅都相同

B.不同质点振动的频率都相同

C.不同质点振动的相位都相同

D.不同质点振动的周期都与振动片的周期相同

E.同一质点处，两列波的相位差不随时间变化

[答案]：B D E

点评及复习要点：该题取材于课本的演示实验：发波水槽演示水波的干涉实验。复习时，要弄清干涉现象。

四、动态演绎，突破难点

[例8]（2017年全国I卷第34题）（1）如图6（a），在xy平面內有两个沿z方向做简谐振动的点波源S1（0，4）和S2（0，-2）。两波源的振动图线分别如图6（b）和图6（c）所示。两列波的波速均为1.00 m/s。两列波从波源传播到点S（8，-2）的路程差为  m，两列波引起的点B（4，1）处质点的振动相互_____（填“加强”或“减弱”），点C（0，0.5）处质点的振动相互____（填“加强”或“减弱”）。

[答案]（1）2;减弱;加强

解析：（1）[s1A=82+4-（-2）2=10 m]

[s2A=8 m]

∴路程差为2 m

[s1B=42+4-12=5 m]

[s2B=42+1--22=5 m]

∴两列波到B点的路程差为0，而起振方向相反，故B为减弱点。

[s1c=3.5 m]，[s2c=2.5 m]

[Δs=s1c-s2c=1 m]

由图知，[λ=2 m]

∴[Δs=λ2]，起振方向相反，故C为加强点。

点评与复习要点：课本上通过水波的干涉实验，介绍了振动情况完全一样的两个波源发出的波，在空中相遇时，表现出的干涉现象。通常教师都会给出振动加强点和减弱点的条件，即路程差为波长整数倍时是加强点，路程差为半波长奇数倍时是减弱点，而这道高考题考查了振动情况反相的两个波源形成的干涉，这样就不能套上述振动加强点和减弱点的条件，正好跟上面的结论相反。要讲清干涉，就要弄清干涉发生的前提条件。干涉必须是两列相干波源，什么是相干波源呢？频率相同，相差恒定的两个波源。干涉的特征是每一个质点的振幅是确定值，位移随时间变化，但振幅不随时间变化;不同的质点振幅不尽相同，呈空间周期性变化。

近五年机械振动和机械波高考题的特点是：来源于课本，不拘泥于课本。抓基础、抓图像，重视用数学知识处理物理问题的能力，另外，演示实验和学生实验也值得关注。

（责任编辑 易志毅）