浅谈定积分的有关问题

赵青波

（三门峡职业技术学院 公共教学部，河南 三门峡 472000）

定积分是一种抽象概念，一般可以分为定积分与不定积分这两种不同方式。定积分可以理解为某一个具体的数值，然而，不定积分一般是指函数表达方式，定积分与不定积分在数学上是一种非常密切的关系。

一、关于定积分概述分析

某一个连续性函数都会存在定积分与不定积分，如果在有限的间断点的条件下，定积分肯定存在，如果处于跳跃间断点条件下，原先的函数一般都不会存在，在这种条件下不定积分也不会存在。关于不定积分内容：例如在已经知道导数的情况下去求解原函数。定积分属于微积分的范畴，微积分是高等数学教学中研究函数的重要内容，定积分是求导数运算的重要理论。不论是函数、速度或者加速度、曲线中的斜率都可以用通用的符号对其进行讨论和分析。定积分能够有效解决天文学、物理学中存在的各种问题[1]。近几年，定积分的应用范围越来越广泛，在定积分发展过程中常常遇到很多严密性的问题得不到有效解决。很多著名科学家在研究定积分方面都投入了很多时间与精力，但是并没有从本质上有效解决这些非常严密性的问题。定积分内容复杂、混乱，很多科学家在研究定积分时常常受到希腊几何学的局限性，随着定积分内容越来越丰富，很多严密性问题逐渐得到解决。法国著名数学家柯西在研究定积分中取得了很大发展成就，在这位著名数学坚持不懈努力的基础上诞生了具有重要转折作用的极限理论，自此以后定积分逐渐走向了严密发展的方向，并且在一定程度上有效推动了数学的快速发展。

二、定积分发展过程

（一）定积分准备阶段

定积分最早出现在17世纪中期，这是古希腊灿烂文化发展鼎盛时期，数学也是在这个古希腊辉煌时期下发展形成。最初定积分在发展过程中主要围绕“求积问题”核心思想进行发展，“求积问题”中有两个非常重要的内容不可忽视：首先，求平面图形中的面积与曲面包围形成的体积[2]。其次，在静力学中计算物体的重心与液体产生的压力这些内容，欧洲著名天文学家开普勒的观点认为，几何图形大部分都是由无穷个同维数的小图共同组合而成，通过使用一些特定方法把这些不同类型的图形面积或者体积加起来就可以计算出来几何图形中的面积，计算面积使用的都是一些无穷无尽的小方法，定积分发展到17世纪中期时，就开始形成了一种“分割求和”与无穷小的发展观点来就积，定积分的快速发展使得“分割求和”与无穷小的方法已经开始得到普遍应用，并且在一定程度上对定积分稳定向前发展提供了重要基础。定积分诞生之后在一定程度上对数学的快速发展也会产生很大影响，以往很多数学中纷繁复杂的问题在很长很长时间都得不到解决，通过使用定积分能够很好的解决这些问题。由此就可以说明定积分的重要意义，定积分在漫长发展的道路上积累了很多数学的心血，在大量研究的成果上逐渐发展起来的，最后都是由少数数学家通过深入、研究、总结才形成了完整的定积分[3]。然而，很多人在享受定积分带来的巨大经济效益时，在研究谁是创建这么学科时，引起了巨大反响，在一定程度上逐渐形成了部分数学家流派之间出现了对峙，这对定积分的发展带来了一定局限性。以至于在很长一段时间里得不到快速发展，站在数学发展的角度分析来说，到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲学家波尔查诺，他曾著有《无穷的悖论》，明确地提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。

分析学的奠基人，法国数学家柯西在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列的基本概念和精确定义。在一定程度上造成了数学发展过程中遇到了各种发展瓶颈[4]。其中牛顿与莱布尼兹在定积分发展过程中作出了卓越贡献，牛顿创立定积分理论要比莱布尼兹创立的理论要先进很多，然而，在正式发表定积分这一理论时还是存在着很多问题，在研究定积分过程中要比其他理论使用的时间更加长久、早期研究定积分过程中还存在很多不足之处，这些问题在一定程度上对定积分的发展将会产生很大影响。定积分在发展过程中柯西这位著名数学做出了非常重要的贡献，在一定程度上有助于推动数学的快速发展，引起了越来越人的关注和重视，这为完善定积分内容提供了重要基础保障。德国很多数学家在研究定积分是构造了一些不同类型的函数理论，然而，在构造过程中却没有连续曲线，显然这种曲线理论与直观观念上还是存在很大差距。在研究定积分过程中极限价值理论也发挥了重要作用。

（二）定积分创立阶段

牛顿与莱布尼兹等科学家对定积分概念创立具有起着重要作用。牛顿在很早以前就开始研究微积分，很早以前的微积分被称为“无穷小分析”，之所以会产生这样称呼，主要是微积分发展发展基础是依据无穷小概念上，“无穷小”是当时微积分的主要称呼，牛顿创造的“流体法”内容中把那些不确定、变动性非常的量统称为“流量”，由于“流量”自身体积小，因此又被称为“无穷小量”这些不同变量变化率一般被称为“流数”，假设使用小点的方式来表示流数。例如，x与y表示不同类型变量，x与y与时间之间的留数，可以用曲线f(x,y)=0，在某一个定点处切线斜率一般是指x留数与y留数之间比，以此为依据导出x对y就可以用x流数与y留数比，可以用来表示。在求曲线中的切线时还可以通过纵坐标和横坐标之间的差值比的方式，求和与求差运算中的可逆性还可以用dy来表示曲线上相邻点中的纵坐标差。通常情况下，用来表示这些差和，在中明确可以指出，“∫”代表着和，字母d代表差，在求和过程中的积分是微分的逆向过程，用更加准确的语言可以说就是定积分。

（三）定积分完成阶段

处于19世纪前期的微积分逻辑发展基础还存在很多不足之处，经过众多数学家的不懈努力重于完成了微积分的理论基础，柯西这位著名数学家运用极限的方式给出了积分的定义，在他对微积分认识的理论基础上明确指出“∫”不能单单理解为一个和式，关于和式公式：，假设处于一直减小状态时，Sn达到的最后极限值就是S，这个S就是指函数f(x)在区间[x0,x]上的定积分，

三、定积分应用

（一）定积分在数学几何中的应用

几何是一种抽象的概念，几何知识点一般都比较零碎。在分析几何中平面图形这节课时，一定要综合其他各方面因素去考虑。平面图形属于几何图形范畴，一般是指很多点都在同一个平面上组成的各种不同形状的图形。比较常见的有三角形、平行四边形、直线都属于平面图形[5]。在日常生活中的几何图形一般都是由点、线、面组合而成的几何图形。例如，计算平面图形面积：

解答：椭圆中Ox轴与Oy轴两者是一种垂直交叉的形状，并且是一种对称关系，在对其进行计算时，只需要计算出来处于第一象限的面积，再乘以数字4就能够求得出整个平面图形面积，这里的面积用S来表示。在这个公式中，可以把y作为一个积分变量，这个y积分变量变化区间是[0，a]，在这种条件下就可以得出这样一个公司：，把

当a=b=R时，就可以得出椭圆面积。

以上这个公司就是椭圆的面积，在解答这类曲线时有几个重要问题需要注意：（1）利用公司先求出来曲线中的交点，（2）通过求出的交点再画出曲线，（3）应用合适的积分变量在一定程度上能够让整个运算变得更加简便。

（二）应用定积分计算旋转体积

解答：

假设，a=b=R，在这种条件下就可以得出R球的体积

（三）定积分来应用计算椭圆球体面积

假设，a=b=R，就可以得出R椭圆球的体积：

（四）定积分应用

在应用定积分计算X轴与Y轴围绕形成的体积时，先分析什么是抛物线。抛物线一般是指平面内中某个定点F与一条直线i距离两者相等的点形成的轨迹，表示抛物线的方法有很多种，可以用参数或者标准方程来进行表示，抛物线在几何光学与力学中具有重要意义[6]。抛物线属于圆锥曲线范畴，准确的说是圆锥面和平行于某一条线得出的一种曲线，通过把抛物线在合适的坐标进行变换可以看做是一种二次函数图像。抛物线是平面中部分阵线与焦点相同距离的点形成的轨迹[7]。抛物线的另外一种描述可以作为圆锥截留面，圆锥形表面与其平行的另外一个交点共同组成，对称轴也是进行定积分应用中的重要内容。一般情况下，与准线垂直通过焦点之后形成的线一般被称为对轴线。对称轴与抛物线交叉形成的点被称为“定点”，定点与焦点两者之间的距离被称为“焦距”[8]。抛物线可以多方向进行延伸，如果抛物线y=x2，直线x=2，使用x轴围成的平面图形，分别绕x轴、y轴进行旋转之后形成的体积

总结：通过使用定积分公式能够详细计算出来椭圆形体积面积。