求一类特殊曲面

樊雪双 李云娟 严峰军

摘 要：曲面面积的计算方法很多，例如可以用二重积分及第一型曲面积分都可以计算曲面的面积，而用二重积分计算还有两种方法，这些用积分方法来求曲面面积都要求曲面方程是已知的才可以。而本文独辟蹊径主要采用了利用“分割，近似，求和，取极限”的思想并借助第一型曲线积分的计算方法求出了一类特殊柱面的面积。

关键词：曲面;曲线;柱面面积;第一型曲线积分

在高等数学中，积分是其中一项重要的内容，而对于积分的应用其中一项就是用来求面积，而曲面的面积计算在高等数学中也是一个重要的考查方面，在生活生产实践中，这个问题能否顺利解决也显得尤为重要，我们可以利用二重积分及第一型曲面积分的方法解决已知曲面方程求曲面面积的问题，而这些方法都要求必须已知曲面方程或通过已知条件可求出曲面方程才可以用，而这种要求就给现实的一些生产实践的求曲面面积带来了不便，而本文主要采用“分割，近似，求和，取极限”的思想方法在曲面方程未知而已知相关曲线方程的情况下来求一种特殊曲面——柱面的面积。

1 符合条件的一类曲面——柱面面积的计算

定理：若曲线C的方程为x=x（t）

y=y（t）

z=z（t）（z0）那么该曲线与它在xoy平面上的投影C′以及空间直线L1x=x（）

y=y（）与空间直线L2x=x（β）

y=y（β）所围成的部分柱面的面积为S=（其中S表示所求柱面的面积，l表示C′上的弧长）

证明：设C在xoy平面上投影为C′

求上图中弯曲柱面的面积的解决方法如下：

（1）分割：分割C′（SymbolcB@

tSymbolcB@

β）成n段弧，第i段弧长记为Δli。

（2）近似：第i段弧上对应的图形面积设ΔSi，在第i段弧任选一点（x（ti），y（ti），0）其对应于的C上一点（x（ti），y（ti），z（ti））。

ΔSi≈z（ti）Δli

（3）求和：所求面积为S则 S≈∑ni=1z（ti）Δli

（4）取极限：设λ=max{Δli）（1SymbolcB@

iSymbolcB@

n）

limλ→0∑ni=1z（ti）Δli=S

则所求柱面面积S=

该定理把这样一类曲面—柱面面积的计算转化为计算第一型曲线积分，通过计算第一型曲面积分就可以求出其面积，对于这样类似的柱面我们也可以通过对上述解决问题思想方法的借鉴来求出相关类型柱面的面积，下面我们以推论的形式给出。

2 相关柱面面积的计算

推论1：若曲线C的方程为x=x（t）

y=y（t）

z=z（t）（zSymbolcB@

0） 在（SymbolcB@

tSymbolcB@

β）连续，则该曲线与它在xoy平面上的投影以及空间直线L1x=x（）

y=y（）与空间直线L2x=x（β）

y=y（β）所围成的部分柱面的面积为S=-（其中S表示所求柱面的面积，l表示C′上的弧长）

推论2：若曲线C1的方程为x=x（t）

y=y（t）

z=z1（t）（z0），曲线C2的方程为x=x（t）

y=y（t）

z=z2（t）（zSymbolcB@

0） 它们在（SymbolcB@

tSymbolcB@

β）连续，则这两条曲线与及空间直线L1x=x（）

y=y（）与空间直线L2x=x（β）

y=y（β）所围成的部分柱面的面积为S=z1（t）-z2（t）dl（其中S表示所求柱面的面积，l表示C在xoy平面上的弧长）。

从上面的定理和推论的前提条件中可以看到，要用定理和推论的结论都需要把曲线投影到xoy平面上，有时也可根据实际需要把曲线投影到其它的坐标平面，这样也可以得到类似的定理和推论。

3 结语

本文所采用“分割，近似，求和，取极限”方法证明出了特殊柱面的计算公式并给出相关推论，这些结论在解决相关问题时也具有一定重要意义。

参考文献：

[1]谢克藻，冀永强.高等数学下册.大连理工大学出版社，2012.

[2]华东师范大学数学分析下册.高等教育出版社，2001.

作者简介：樊雪双（1980-），男，汉族，山西洪洞县人，硕士，讲师，研究方向：代数;李云娟（1981-），女，陕西户县人，本科，讲师，研究方向：高等數学教学，教育心理学;严峰军（1979-），男，汉族，山西运城人，硕士，讲师，研究方向：应用数学。