一道考试题引发的思考

王丽

摘 要：本文针对湛江幼儿师范专科学校2018年期中考试的一道题目：验证两直线相交，并求其所成夹角的角平分线方程，给出几种不同的方法，并分析它们之间的联系。由此针对解析几何课程教学中存在的问题提出相应的解决方法。

关键词：空间直线;相交;角平分线

【中图分类号】G【文献标识码】B

【文章编号】1008-1216（2019）12B-0123-03

在湛江幼儿师范专科学校2018年期中考试中有一道题目：验证两直线l1：，l2： 相交，并求两直线l1，l2所成交角的角平分线方程。

这是解析几何中的一个题目，通过分析，发现涉及到的内容有两个方面：（1）空间两直线的位置关系;（2）相交直线所成角的角平分线。

分析：方法1是最基本的解法，从角平分线的性质入手，得到角平分线的一般方程。

方法2从题目先得到角平分线上的一固定点，然后设其标准方程形式，再根据角平分线的性质得到所求直线的两个方向向量。方法2的计算量相对较少，也容易使用，但它有一缺点就是，给定直线的方向向量的选择，容易使人忘记一条直线可以有两个方向向量，例如，直线l1的方向向量可以取={0，1，1}，当然也可以取={0，-1，-1}，这两个向量是互为反向量的。

方法3最简单，它与我们熟悉的图形——菱形结合起来，用特殊的性质解决问题。由此我们就得到一类题目的特殊解法：当涉及两直线的夹角问题时，可以从选取适当的直线的方向向量入手，考虑由两方向向量作邻边所组成的平行四边形。例如，求两直线所成夹角的角平分线，就可以选择长度相等的两个向量分别为两直线的方向向量，考虑由这两个方向向量作为邻边所组成的菱形，此时就可以用三角形法则得到两直线所成夹角的角平分线的方向向量。

在中学阶段进行学习的必要，所以很容易给学生造成认识上的误区：不必过深地学习这门课程;还有，因为解析几何的课时少，为完成教学任务，很多时候只是对照书本上的知识点进行纯粹地讲解，忽略了与其他课程的联系，这些都是我们在解析几何课程教学中存在的问题。要解决这些问题，我们就必须从认识上、从具体教学实践中作一些改变：（1）教师通过查阅不同的教材、资料，适当调整教学内容，避免重复教学以及内容割裂;（2）使用多媒体辅助教学，用“图、文、声、像”的形式向学生展示多一些数学模型，避免学生过多地凭空想象。例如，对于圆柱螺线、柱面、锥面、旋转曲面等学习内容，可以根据各个曲面所具有的集合特征，利用几何画板或其他教学软件描绘曲面图像，以动态的形式展现曲线和曲面的生成过程;（3）讲课中多配备例题，尽可能通俗、具体地讲解抽象的知识;（4）针对本校学生，由于培养目标是中小学教师，所以解析几何的具体内容是用不上的，此时我们学习解析几何的目的不仅仅是基本内容，更多的是关于数学方法、数学思维的学习;（5）加强与数学专业其他課程的联系，例如，三个向量的共面问题可以转化为行列式的计算;一个向量对于三个不共面向量的分解式的求法就是线性方程组的克莱默法则等。

参考文献：

吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]吕林根.解析几何学习辅导书[M].北京：高等教育出版社，2006.