高中数学排列组合解题技巧分解

侯沛辰

摘 要：高中数学中的排列组合是一个重点知识，是计数原理中的一个偏难章节，同时也是许多实际问题的求解方法，需要灵活掌握其解题技巧。本文将结合笔者的自身学习经验，首先对高中数学排列组合题目的分析方法进行简单介绍，进而提出几种解题技巧的实际运用，包括插空法、转化法、间接法、对等法的应用等。

关键词：高中数学；排列组合；解题技巧

排列组合问题求解对于我们的逻辑思维能力有较高的考验，在扎实掌握基本概念公式和计算原理的基础上，还要在解题过程中总结方法和技巧，从而达到事半功倍的效果。求解排列组合问题，首先要审清题意，不能盲目套用公式，否则容易掉进出题人设置的陷阱。虽然此类问题大多数能找到解题思路，但想要准确解答出结果并不容易。因此，有必要对其解题技巧进行研究，提高排列组合问题的求解效率和准确率。

一、高中数学排列组合题目的分析方法

在高中数学学习过程中，审题永远是求解问题的第一步，只有采取正确的问题分析方法，才能找到求解问题的关键，从而利用题目已知条件顺利求解出答案。在对高中数学排列组合问题进行分析时，可以按照一定的步骤系统化分析。第一步是对问题性质进行判断，准确判断题目到底是排列问题、组合问题、混合问题中的哪种类型。然后根据问题性质，确定解题模式，即判断问题属于加法原理还是乘法原理，从而正确选择出问题的求解方法。在此基础上，还要对题目附加条件进行详细分析，不能放过任何一个有用条件，同时也不能受到干扰条件的影响。一般情况下，在排列组合问题中的附加条件主要是对元素位置进行限定，需要在分析过程中加以明确，否则容易出现重复或遗漏的现象，导致出现错误。通常的原则是：优先限制后一般，优先分类后分步，优先选取后排序，优先策略后其他。

二、高中数学排列组合题目的解题技巧

（一）插空法的运用

插空法是解决排列问题的常用方法，在对几个元素按照要求进行排列时，采用插空法可以有效简化排列过程。基本模型是不相邻问题，即对某些元素提出不相邻要求为限制条件，其基本思维是先将没有限制的元素进行排列，然后再将有限制的元素插入到已经排好的元素序列中，从而满足题目的要求。比如例1：教师组织学生到影院观影，影院同排座位有12个，需要安排4名教师和8名学生，其中教师不能相邻，且必须在学生之间，试求解有多少种排座方法。利用插空法进行求解，首先对没有限制条件的“学生”进行排列，共有A88种方法，然后为4名教师安排空档，根据题意，教师不能坐在两边，因此实际有7个空档，共有A74种排列方法，所以最终的结果就是A88·A74种排列方法[2]，这是互异元素间的问题。

又如例2：有15盏灯，需关掉6盏，要求相邻的灯不能关掉，两端的灯不关掉，试求解有多少种不同的关灯方法。利用插空法进行求解，固定9盏亮灯的位置，由于两端只能是亮灯，因此8个空插6盏灯，即C86种排列方法，灯的顺序固定，不能用排列，而是用组合。

（二）转化法的运用

转化法也是在排列组合问题中常用的一种解题技巧，特别是在一些比较复杂和抽象的题目中，采用转化法进行求解，可以帮助我们理清思路，避免出现错误。比如例3：某校高二年级共有9个班级，现要在高二年级中选拔11名学生会成员，要求每个班至少选出一人，试求解共有多少种选择方法。这道问题由于与实际校园生活联系起来，可能会增加我们分析问题的难度，可以对题目中的模型进行转化，比如将其想象成“对11个白球分成9组”的问题，就可以快速理清解题思路。首先将11个白球排成一排，它们之间有十个空档，“分组”可以看做在空档中放入黑球，利用黑球将白球隔开。那么最终要求解的问题就是黑球有多少中插入方法，可以直接通过C108进行计算。

（三）间接法的运用

在求解组合类问题时我们会发现，往往题目有多少种排列方法，就会对应有多少种剩余排列方法，如果直接求题目中要求的排列方法难以计算，可以转换思路，先求出剩余的排列方法，然后再进行求解。比如例4：口袋里装有23个不相同的五分硬币，10个不相同的一角硬币，在口袋中取出2元钱，有多少种取法？这道题就是典型的直接求取很困難，而采用剩余法求解很简单。通过计算将口袋里的全部硬币取出金额可以得出，口袋里共有2.15元，现要取出2元，相当于留下0.15元。口袋里只有两种面额的硬币，即五分和一角，那么只有两种情况，一是剩下3个五分硬币，二是剩下一个五分硬币和一个1角硬币。但由于硬币不同，所以最终的结果是有C233+C231C101种取法。

间接法的运用中还有一种方法，是排除法，主要针对一些难度较高的排列组合问题，采用正向思维，可能无法求解出问题的关键，此时就需要利用反向思维，通过采用排除法，降低问题求解难度。比如例题5：某班级学生总数为56人，现从班级中随机抽取6人，要求数学、语文和物理课代表中至少有一人被抽取，问有多少种抽取方法。这道题目采取正常求解方法也较为麻烦，但是求解三科课代表都不在内的抽取方法较为简单，即C536种，同时也可以确定完全随机的抽取方法为C566种，从中减去三科课代表都不在内的情况，即可求出题目答案。

（四）对等法的运用

还有一些排列组合问题，题目中的肯定条件与否定条件相同，此时只需要求出所有的排列组合情况，然后除以2，即可得到最终结果。比如例6：高二年级的期末考试科目有8门，现要求将物理考试安排在化学考试之前，试问有多少种安排方法。在求解这道题目时，如果按照常规方法求解，非常麻烦。而通过仔细分析题意可知，题目中唯一的限制条件是物理考试要安排在化学考试之前，而物理考试和化学考试的先后顺序只有两种，题目要求的情况则占1/2。所以，只需要求解出所有排列方法，即A88种，然后再除以2，即可得到最终答案，求解过程非常简单。

这里还要讨论另一种题型与对等法的关系，这种题型是给出n个数，要求组成m位数的奇数或偶数个数，由于奇与偶，在我们的脑海里有对立对等的感觉，因此很容易联想到利用对等法，但在实际运用中我们不难发现，并不是所有的这类题均可用对等法。这是为什么呢？原因在于数的性质不同。这类题型大致分成三类，第一类是给出的数中奇偶个数相同，这类题由于选出奇数与偶数方式完全相同，可以采用对等法，但偶数中不能有0，0不能排在首位；第二类是虽然奇偶个数相同，但出现了0，这类题由于0的特殊性，必须进行分类讨论，但可以先采用对等式，再利用间接法，减去0排在首位的情况；第三类是奇偶个数不相同，也无法采用对等法，就只能利用分类讨论进行计算，搞清楚分类，做题才能更准确，用时更少。

三、结束语

综上所述，高中数学排列组合问题非常有特点，在解题过程中讲究解题技巧的运用，通过对题目进行正确分析，采用合适的解题方法，可以有效降低解题难度，节省考试时间，同时也可以提升计算结果的准确率，一举多得。因此，必须注重对排列组合问题解题技巧的总结和运用。

参考文献

[1]高九明.浅谈高中数学排列组合解题方法[J].课程教育研究，2017（40）：137.

[2]谢滢欣.高中数学中排列组合问题的实际应用[J].数学学习与研究，2017（19）：134.